La méthode de Monte-Carlo

On estime π en tirant des points dans le carré unité.
a) Le point $(0{,}6 \,;\, 0{,}8)$ est-il compté dans le quart de disque ?
b) Sur 5 000 points, 3 921 sont dans le quart de disque. Donne l'estimation de π, arrondie au centième.

On veut estimer l'aire de la zone du carré unité comprise entre la courbe de $x \mapsto x^{2}$ (en dessous) et la droite d'équation $y = x$ (au-dessus).
a) Écris le test qui indique qu'un point $(x \,;\, y)$ est dans cette zone, et applique-le au point $(0{,}5 \,;\, 0{,}4)$.
b) Sur 4 000 points tirés au hasard dans le carré, 668 sont dans la zone. Estime l'aire de la zone.

On veut estimer l'aire sous la courbe de $f(x) = 1 - x^{2}$ entre 0 et 1, en tirant des points dans le carré unité.
a) Écris la ligne de test du programme Python.
b) Sur 2 500 points, 1 668 vérifient ce test. Estime l'aire, arrondie au centième.

On tire deux nombres x et y au hasard entre 0 et 1, et on s'intéresse à l'événement « $x + y \le 1$ ».
a) Dans le carré unité, les points qui réalisent cet événement forment un triangle. Calcule son aire, et déduis-en la probabilité exacte de l'événement.
b) Une simulation de 8 000 tirages donne 4 035 réalisations. Calcule la fréquence et son écart avec la probabilité exacte, arrondis au millième.

On lance trois fois une pièce équilibrée.
a) Calcule la probabilité exacte que les trois résultats soient identiques.
b) Une simulation de 2 000 séries de trois lancers donne 489 séries de résultats identiques. Calcule la fréquence obtenue et compare-la à la probabilité exacte.

Un disque de rayon 1 est dessiné à l'intérieur du rectangle $[0 \,;\, 4] \times [0 \,;\, 3]$.
a) Calcule l'aire du rectangle.
b) On tire 6 000 points au hasard dans le rectangle ; 1 580 tombent dans le disque. Déduis-en une estimation de l'aire du disque, puis de π.

Une simulation d'estimation de π avec 100 points s'écarte en général d'environ 0,16 de la vraie valeur.
a) Par combien faut-il multiplier le nombre de points pour diviser cet écart par 10 ?
b) Combien de points faut-il pour un écart de l'ordre de 0,016 ? Et de l'ordre de 0,0016 ?

Une basketteuse marque chaque lancer franc avec une probabilité de 0,7, indépendamment. On simule 2 000 fois une série de 5 lancers ; dans 336 séries, elle marque les 5 lancers.
a) Donne l'estimation de la probabilité de marquer les 5 lancers.
b) Calcule la probabilité exacte, arrondie au millième, et compare.

Deux élèves écrivent chacun un programme de simulation. Le premier compte les tours où « random() < 0.25 », le second les tours où « randint(1, 4) == 1 ».
a) Quelle probabilité le premier programme estime-t-il ?
b) Quelle probabilité le second programme estime-t-il ? Les deux fréquences doivent-elles être égales à chaque exécution ?

Une machine comporte trois composants montés en série : elle fonctionne seulement si les trois fonctionnent. Chacun fonctionne avec une probabilité de 0,9, indépendamment des autres.
a) Calcule la probabilité exacte que la machine fonctionne.
b) Une simulation de 10 000 machines en compte 7 318 qui fonctionnent. Calcule la fréquence et son écart avec la probabilité exacte.