La méthode de Monte-Carlo

On tire 1 200 points au hasard dans le carré $[0 \,;\, 2] \times [0 \,;\, 2]$. 942 d'entre eux sont dans le quart de disque de centre O et de rayon 2, dont l'aire vaut π. Quelle estimation de π obtient-on ?

Pour estimer l'aire sous la courbe de $f(x) = x^{3}$ entre 0 et 1, on tire 1 000 points dans le carré unité et on compte ceux qui vérifient $y \le x^{3}$ : on en trouve 251. Estime cette aire, puis calcule l'écart avec sa valeur exacte, qui est 0,25.

On veut estimer par simulation la probabilité qu'un nombre tiré par random() soit inférieur à 0,3. Complète le programme en écrivant la ligne manquante, puis indique vers quelle valeur la fréquence renvoyée doit se rapprocher.
from random import random
def frequence(N):
compte = 0
for i in range(N):
...
compte = compte + 1
return compte / N

Trois groupes lancent chacun 200 fois une punaise et obtiennent « pointe en l'air » 76, 81 et 70 fois. Regroupe les résultats pour estimer la probabilité de « pointe en l'air », arrondie au millième.

Une cible carrée de 1 m de côté porte un disque de rayon 0,5 m centré au milieu du carré. On repère un point par $(x \,;\, y)$ avec x et y entre 0 et 1.
a) Écris le test qui indique qu'un point est dans le disque.
b) Sur 2 000 points tirés au hasard, 1 563 sont dans le disque. Calcule la proportion observée et compare-la à la proportion exacte $\frac{\pi}{4}$, arrondie au millième.

On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité exacte que la somme soit supérieure ou égale à 10, arrondie au millième. Une simulation de 6 000 lancers donne 1 021 sommes supérieures ou égales à 10 : calcule la fréquence obtenue, arrondie au millième, et compare.

Voici un programme censé renvoyer la fréquence des 6 sur N lancers de dé. Il renvoie presque toujours 0 ou $\frac{1}{N}$. Trouve l'erreur et corrige-la.
from random import randint
def frequence(N):
compte = 0
for i in range(N):
if randint(1, 6) == 6:
compte = compte + 1
return compte / N

Une zone Z est contenue dans le rectangle $[0 \,;\, 3] \times [0 \,;\, 2]$. On tire 3 000 points au hasard dans ce rectangle, et 1 840 tombent dans Z. Estime l'aire de Z.

Avec 400 points, une estimation de π s'écarte typiquement de 0,08 de la vraie valeur. On admet que, pour diviser cet écart par 10, il faut environ 100 fois plus de points. Combien de points faut-il pour obtenir un écart typique de l'ordre de 0,008 ?

On lance 4 fois un dé équilibré. Calcule la probabilité exacte d'obtenir au moins un 6, arrondie au millième. Une simulation de 10 000 séries de 4 lancers donne une fréquence de 0,512 : est-ce cohérent ?