La méthode de Monte-Carlo

Jeu du franc-carreau. On lance une pièce de rayon 1 cm sur un carrelage de carreaux carrés de 4 cm de côté. On admet que le centre de la pièce tombe au hasard, uniformément, dans un carreau. On gagne si la pièce ne touche aucun joint.
a) Décris la zone du carreau où doit tomber le centre pour gagner, et calcule son aire.
b) Calcule la probabilité exacte de gagner.
c) Sur 3 000 lancers simulés, on gagne 772 fois. Calcule l'écart entre la fréquence de gain et la probabilité exacte de gagner, arrondi au millième.

Sur une carte, un lac est entièrement contenu dans un rectangle de 8 km sur 5 km. Un logiciel tire 2 000 points au hasard dans le rectangle et en compte 730 sur le lac. Une seconde simulation de 2 000 points en compte 752.
a) Donne l'estimation de l'aire du lac pour chaque simulation.
b) Estime l'aire du lac en regroupant les deux simulations.

On veut estimer l'aire A de la zone située sous la courbe de $f(x) = 4 - x^{2}$ pour x entre 0 et 2, au-dessus de l'axe des abscisses.
a) Choisis un rectangle qui contient entièrement cette zone, et donne son aire.
b) Écris les instructions Python qui tirent un point au hasard dans ce rectangle, et le test qui indique qu'il est dans la zone.
c) Sur 5 000 points tirés dans ce rectangle, 3 340 sont dans la zone. Estime A, arrondie au dixième.

Deux amis se donnent rendez-vous entre 12 h et 13 h. Chacun arrive à un instant tiré au hasard dans cette heure, indépendamment de l'autre, et attend l'autre 15 minutes au plus avant de partir. On note x et y leurs heures d'arrivée, en minutes après 12 h.
a) Écris la condition sur x et y pour qu'ils se rencontrent.
b) Dans le carré $[0 \,;\, 60] \times [0 \,;\, 60]$, les points qui ne réalisent pas la rencontre forment deux triangles rectangles isocèles de côté 45. Calcule la probabilité exacte de la rencontre.
c) Sur 4 000 simulations, 1 731 donnent une rencontre. Calcule l'écart entre la fréquence de rencontre et la probabilité exacte de rencontre, arrondi au millième.

On lance deux dés équilibrés et on gagne si le plus grand des deux résultats est un 6.
a) Compte les issues gagnantes parmi les 36 issues possibles.
b) Calcule la probabilité exacte de gagner, arrondie au millième.
c) Avec 100 parties simulées, la fréquence de gain s'écarte rarement de plus de 0,09 de la probabilité exacte. Combien de parties faut-il simuler pour que cet écart maximal soit de l'ordre de 0,009 ?

Voici un programme censé estimer π.
from random import random, randint
def estimation(N):
    dedans = 0
    for i in range(N):
        x = random()
        y = randint(0, 1)
        if x**2 + y**2 <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / N
Il renvoie des valeurs proches de 2 au lieu de 3,14.
a) Quelles valeurs y peut-il prendre ?
b) Explique pourquoi le résultat est proche de 2.
c) Corrige le programme.

On estime π avec seulement 10 points tirés dans le carré unité. Chaque point tombe dans le quart de disque avec une probabilité $p = \frac{\pi}{4}$, indépendamment des autres, et X compte les points dans le quart de disque.
a) Quelle loi suit X ?
b) Quelle estimation de π obtient-on si les 10 points tombent dans le quart de disque ?
c) Calcule la probabilité que les 10 points tombent tous dans le quart de disque, arrondie au millième.

Pour aller d'une ville A à une ville B, un courrier électronique traverse d'abord un serveur S (en service avec une probabilité de 0,95), puis l'une de deux liaisons L1 et L2 (chacune en service avec une probabilité de 0,8). Il arrive si S fonctionne et si au moins une liaison fonctionne. Tous les éléments sont indépendants.
a) Décris les étapes d'une simulation de Monte-Carlo qui estime la probabilité que le courrier arrive.
b) Calcule la probabilité exacte que le courrier arrive.
c) Une simulation de 5 000 envois donne 4 571 arrivées. Calcule l'écart entre la fréquence d'arrivée et la probabilité exacte d'arrivée, arrondi au millième.

On considère la zone L des points $(x \,;\, y)$ du carré $[-1 \,;\, 1] \times [-1 \,;\, 1]$ qui vérifient $|x| + |y| \le 1$.
a) Le point $(0{,}3 \,;\, -0{,}5)$ est-il dans L ?
b) La zone L est un losange de sommets $(1 \,;\, 0)$, $(0 \,;\, 1)$, $(-1 \,;\, 0)$ et $(0 \,;\, -1)$. Calcule son aire exacte.
c) Sur 2 000 points tirés au hasard dans le carré, 1 012 sont dans L. Estime l'aire de L et donne l'écart avec son aire exacte.

Un logiciel estime π à de nombreuses reprises et relève l'écart moyen à la vraie valeur : 0,08 pour 400 points, 0,04 pour 1 600 points, 0,02 pour 6 400 points.
a) Par combien le nombre de points est-il multiplié d'une ligne à l'autre, et par combien l'écart est-il divisé ?
b) Par combien faut-il multiplier le nombre de points pour diviser l'écart moyen par 4 ?
c) D'après cette tendance, combien de points faut-il pour un écart moyen de l'ordre de 0,005 ?