Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Dans le public d'un festival, $30\,\%$ des personnes ont moins de 25 ans (événement J). Parmi elles, $70\,\%$ ont acheté leur billet sur l'application (événement X) ; parmi les autres, $40\,\%$.
a) Calcule $P(X)$.
b) Une personne a acheté son billet sur l'application : calcule la probabilité qu'elle ait moins de 25 ans, arrondie au millième.

On lance un dé équilibré à six faces. On note A l'événement « le résultat est pair » et B l'événement « le résultat est inférieur ou égal à 4 ».
a) Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$.
b) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.

On sait que $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}39$.
a) Calcule $P(A \cap B)$ et $P(\overline{A} \cap B)$.
b) Calcule la pondération $P_{\overline{A}}(B)$.

Un magasin se fournit auprès de trois fabricants : F1 livre $50\,\%$ des articles, F2 $30\,\%$ et F3 $20\,\%$. Les taux d'articles défectueux sont $1\,\%$ chez F1, $2\,\%$ chez F2 et $5\,\%$ chez F3.
a) Calcule la probabilité qu'un article pris au hasard soit défectueux.
b) Un article est défectueux : calcule la probabilité qu'il vienne de F3, arrondie au millième.

Dans une messagerie, $20\,\%$ des courriels reçus sont des spams. Le filtre classe comme indésirables $90\,\%$ des spams, mais aussi $5\,\%$ des courriels normaux.
a) Calcule la probabilité qu'un courriel soit classé comme indésirable.
b) Un courriel est classé comme indésirable : calcule la probabilité que ce soit vraiment un spam, arrondie au millième.

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule.
a) Calcule la probabilité que la seconde boule soit rouge.
b) La seconde boule est rouge : calcule la probabilité que la première l'ait été aussi.

Les événements A et B sont indépendants, avec $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}3$.
a) Quelles pondérations faut-il écrire sur les branches $A \to B$ et $\overline{A} \to B$ de l'arbre commençant par A ?
b) Calcule $P(\overline{A} \cap \overline{B})$.

Dans une ville, il pleut un jour donné avec une probabilité de 0,3. S'il pleut un jour, il pleut le lendemain avec une probabilité de 0,6 ; s'il ne pleut pas, il pleut le lendemain avec une probabilité de 0,2.
a) Calcule la probabilité qu'il pleuve le lendemain.
b) Il pleut le lendemain : calcule la probabilité qu'il ait plu la veille, arrondie au centième.

Pour obtenir un permis professionnel, il faut réussir un écrit puis un oral. $65\,\%$ des candidats réussissent l'écrit ; parmi eux, $80\,\%$ réussissent l'oral. Un candidat qui échoue à l'écrit ne passe pas l'oral.
a) Calcule la probabilité qu'un candidat obtienne le permis.
b) Un candidat n'a pas obtenu le permis : calcule la probabilité qu'il ait réussi l'écrit, arrondie au millième.

Trois ateliers A, B et C fabriquent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces d'une usine. Les taux de pièces défectueuses sont $2\,\%$ pour A et $4\,\%$ pour B ; celui de C est inconnu. On sait que $3{,}6\,\%$ de toutes les pièces sont défectueuses.
a) Écris la formule des probabilités totales en notant x le taux de défaut de l'atelier C.
b) Détermine x.