Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Dans une région, $70\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe. Au cours de l'hiver, $4\,\%$ des personnes vaccinées tombent malades, contre $15\,\%$ des personnes non vaccinées.
a) Calcule la probabilité qu'un habitant soit vacciné et tombe malade.
b) Calcule la probabilité qu'un habitant tombe malade.
c) Un habitant est tombé malade : quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ? Arrondis au millième.

Un local est protégé par deux détecteurs qui fonctionnent indépendamment. En cas d'intrusion, le premier la détecte avec une probabilité de 0,9 et le second avec une probabilité de 0,85. L'alarme sonne dès qu'au moins un détecteur réagit.
a) Calcule la probabilité que les deux détecteurs réagissent.
b) Calcule la probabilité qu'aucun détecteur ne réagisse.
c) Quelle est la probabilité que l'alarme sonne lors d'une intrusion ?

Dans un lycée technologique, $50\,\%$ des élèves de terminale sont en STMG, $30\,\%$ en STI2D et $20\,\%$ en ST2S. Obtiennent une mention au bac $20\,\%$ des élèves de STMG, $25\,\%$ de ceux de STI2D et $30\,\%$ de ceux de ST2S.
a) Calcule la probabilité qu'un élève pris au hasard obtienne une mention.
b) Un élève a obtenu une mention : calcule la probabilité qu'il soit en ST2S, arrondie au millième.
c) Les événements « être en STMG » et « obtenir une mention » sont-ils indépendants ? Justifie.

On considère un arbre pondéré avec $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et $P_{\overline{A}}(B) = x$, où x est un nombre compris entre 0 et 1.
a) Exprime $P(B)$ en fonction de x.
b) Détermine x pour que $P(B) = 0{,}52$.
c) Détermine la valeur de x pour laquelle les événements A et B sont indépendants.

Dans une production, $6\,\%$ des objets sont défectueux. Un contrôle automatique accepte $98\,\%$ des objets conformes, mais accepte aussi, à tort, $10\,\%$ des objets défectueux.
a) Calcule la probabilité qu'un objet soit accepté.
b) Un objet est accepté : calcule la probabilité qu'il soit défectueux, arrondie au dix-millième.
c) Un objet est refusé : quelle est la probabilité qu'il soit en réalité conforme ? Arrondis au millième.

On lance une pièce équilibrée. Si elle tombe sur pile, on tire une boule dans l'urne U1, qui contient 3 boules rouges et 2 blanches ; sinon, on tire une boule dans l'urne U2, qui contient 1 boule rouge et 4 blanches.
a) Calcule la probabilité d'obtenir une boule rouge.
b) La boule tirée est rouge : calcule la probabilité que la pièce soit tombée sur pile.
c) Les événements « la pièce tombe sur pile » et « la boule est rouge » sont-ils indépendants ? Justifie.

On donne $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}45$ et $P(A \cap B) = 0{,}27$.
a) Calcule $P_A(B)$.
b) Calcule $P_{\overline{A}}(B)$.
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.

Pour aller au travail, un salarié prend la voiture avec une probabilité de 0,5, le train avec une probabilité de 0,3 et le vélo sinon. Il arrive en retard avec une probabilité de 0,1 en voiture, 0,05 en train et 0,02 à vélo.
a) Calcule la probabilité qu'il arrive en retard.
b) Un jour, il est arrivé à l'heure : quelle est la probabilité qu'il ait pris le train ? Arrondis au millième.

Dans une entreprise, $40\,\%$ des salariés sont cadres. $60\,\%$ des cadres déjeunent à la cantine, ainsi qu'une proportion inconnue x des autres salariés. Au total, $45\,\%$ des salariés déjeunent à la cantine.
a) Détermine x.
b) On croise un salarié qui déjeune à la cantine : quelle est la probabilité que ce soit un cadre ? Arrondis au millième.

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire successivement deux boules. On note A l'événement « la première boule est rouge » et B l'événement « la seconde boule est rouge ». On étudie deux façons de tirer : avec remise, puis sans remise.
a) Avec remise, calcule $P(A \cap B)$ et $P(B)$, puis dis si A et B sont indépendants.
b) Sans remise, calcule $P(B)$ et $P(A \cap B)$.
c) Sans remise, les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.