Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

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1
Dans une région, $70\,\%$ des habitants sont vaccinés contre la grippe. Au cours de l'hiver, $4\,\%$ des personnes vaccinées tombent malades, contre $15\,\%$ des personnes non vaccinées.
Un habitant est tombé malade : quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ? Arrondis au millième.
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a) On note V « être vacciné » et M « tomber malade ». $P(V) = 0{,}7$ et $P_V(M) = 0{,}04$ .
$P(V \cap M) = 0{,}7 \times 0{,}04 = 0{,}028$ .
b) $P(\overline{V} \cap M) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$ .
Par la formule des probabilités totales : $P(M) = 0{,}028 + 0{,}045 = 0{,}073$ .
c) On remonte l'arbre : $P_M(V) = \frac{P(V \cap M)}{P(M)} = \frac{0{,}028}{0{,}073}$ .
Les vaccinés sont nombreux, si bien qu'ils représentent plus d'un malade sur trois, alors que le vaccin divise le risque par près de 4.
$P_M(V) \approx 0{,}384$ .
2
Un local est protégé par deux détecteurs qui fonctionnent indépendamment. En cas d'intrusion, le premier la détecte avec une probabilité de 0,9 et le second avec une probabilité de 0,85. L'alarme sonne dès qu'au moins un détecteur réagit.
Quelle est la probabilité que l'alarme sonne lors d'une intrusion ?
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a) On note $D_1$ et $D_2$ « le détecteur réagit ». Par indépendance : $P(D_1 \cap D_2) = 0{,}9 \times 0{,}85 = 0{,}765$ .
b) Aucun ne réagit : le premier rate ( $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ ) et le second rate ( $1 - 0{,}85 = 0{,}15$ ). Les détecteurs étant indépendants, cette probabilité vaut $0{,}1 \times 0{,}15 = 0{,}015$ .
c) « L'alarme sonne » est l'événement contraire de « aucun détecteur ne réagit ».
Sa probabilité vaut $1 - 0{,}015 = 0{,}985$ .
3
Dans un lycée technologique, $50\,\%$ des élèves de terminale sont en STMG, $30\,\%$ en STI2D et $20\,\%$ en ST2S. Obtiennent une mention au bac $20\,\%$ des élèves de STMG, $25\,\%$ de ceux de STI2D et $30\,\%$ de ceux de ST2S.
Les événements « être en STMG » et « obtenir une mention » sont-ils indépendants ? Justifie.
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4
On considère un arbre pondéré avec $P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}7$ et $P_{\overline{A}}(B) = x$ , où x est un nombre compris entre 0 et 1.
Détermine la valeur de x pour laquelle les événements A et B sont indépendants.
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5
Dans une production, $6\,\%$ des objets sont défectueux. Un contrôle automatique accepte $98\,\%$ des objets conformes, mais accepte aussi, à tort, $10\,\%$ des objets défectueux.
Un objet est refusé : quelle est la probabilité qu'il soit en réalité conforme ? Arrondis au millième.
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6
On lance une pièce équilibrée. Si elle tombe sur pile, on tire une boule dans l'urne U1, qui contient 3 boules rouges et 2 blanches ; sinon, on tire une boule dans l'urne U2, qui contient 1 boule rouge et 4 blanches.
Les événements « la pièce tombe sur pile » et « la boule est rouge » sont-ils indépendants ? Justifie.
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7
On donne $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}45$ et $P(A \cap B) = 0{,}27$ .
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.
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8
Pour aller au travail, un salarié prend la voiture avec une probabilité de 0,5, le train avec une probabilité de 0,3 et le vélo sinon. Il arrive en retard avec une probabilité de 0,1 en voiture, 0,05 en train et 0,02 à vélo.
Un jour, il est arrivé à l'heure : quelle est la probabilité qu'il ait pris le train ? Arrondis au millième.
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9
Dans une entreprise, $40\,\%$ des salariés sont cadres. $60\,\%$ des cadres déjeunent à la cantine, ainsi qu'une proportion inconnue x des autres salariés. Au total, $45\,\%$ des salariés déjeunent à la cantine.
a) Détermine x.
b) On croise un salarié qui déjeune à la cantine : quelle est la probabilité que ce soit un cadre ? Arrondis au millième.
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10
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire successivement deux boules. On note A l'événement « la première boule est rouge » et B l'événement « la seconde boule est rouge ». On étudie deux façons de tirer : avec remise, puis sans remise.
Sans remise, les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.
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