Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

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1
Une entreprise fabrique des pièces sur deux machines. La machine M1 produit $55\,\%$ des pièces, dont $3\,\%$ sont défectueuses ; la machine M2 produit le reste, dont $5\,\%$ sont défectueuses. On prend une pièce au hasard. Calcule la probabilité qu'elle soit défectueuse.
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On note D l'événement « la pièce est défectueuse ». Premier niveau de l'arbre : $P(M_1) = 0{,}55$ et $P(M_2) = 0{,}45$ . Second niveau : $P_{M_1}(D) = 0{,}03$ et $P_{M_2}(D) = 0{,}05$ .
Chemin par M1 : $0{,}55 \times 0{,}03 = 0{,}0165$ .
Chemin par M2 : $0{,}45 \times 0{,}05 = 0{,}0225$ .
Formule des probabilités totales : $P(D) = 0{,}0165 + 0{,}0225 = 0{,}039$ .
La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est 0,039, soit $3{,}9\,\%$ .
2
On donne $P(A) = 0{,}5$ , $P_A(B) = 0{,}4$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$ . Calcule $P(B)$ , puis $P_B(A)$ arrondie au millième.
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On descend l'arbre : $P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ et $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1$ .
Donc $P(B) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$ .
On remonte l'arbre : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}3} = \frac{2}{3}$ .
$P(B) = 0{,}3$ et $P_B(A) \approx 0{,}667$ .
3
Sur un arbre pondéré, on lit $P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}45$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}45$ . Calcule $P(B)$ , puis dis si A et B sont indépendants.
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4
On sait que $P(A \cap B) = 0{,}084$ et $P_A(B) = 0{,}28$ . Calcule $P(A)$ .
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5
Un réseau compte trois lignes de bus. $40\,\%$ des trajets se font sur la ligne 1, $35\,\%$ sur la ligne 2 et le reste sur la ligne 3. Un bus est en retard dans $10\,\%$ des trajets sur la ligne 1, $20\,\%$ sur la ligne 2 et $8\,\%$ sur la ligne 3. On choisit un trajet au hasard. Calcule la probabilité que le bus soit en retard.
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6
Les événements A et B sont indépendants, avec $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}5$ . Calcule $P(A \cap B)$ , puis $P(A \cap \overline{B})$ .
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7
Dans un magasin, $70\,\%$ des clients paient par carte (événement C). Parmi ceux qui paient par carte, $30\,\%$ ont commandé en ligne (événement L) ; parmi les autres clients, $20\,\%$ ont commandé en ligne. On choisit un client au hasard. Calcule la probabilité qu'il ait commandé en ligne.
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8
On donne $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}3$ . Calcule $P_A(B)$ , puis dis si A et B sont indépendants.
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9
On sait que $P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}38$ . Calcule $P(\overline{A} \cap B)$ , puis $P_{\overline{A}}(B)$ .
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10
Un appareil contient deux composants qui fonctionnent indépendamment l'un de l'autre. Le premier fonctionne avec une probabilité de 0,95, le second avec une probabilité de 0,92. L'appareil marche seulement si les deux composants fonctionnent. Calcule la probabilité que l'appareil marche.
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