Les suites arithmétiques

Une pyramide de boîtes de conserve est empilée ainsi : 1 boîte sur la rangée du haut, 2 sur la suivante, 3 sur la suivante, et ainsi de suite.
a) Combien de boîtes compte la rangée n (en partant du haut) ?
b) Exprime le nombre total de boîtes d'une pyramide de n rangées.
c) Combien de rangées compte une pyramide de 210 boîtes ?

Une suite arithmétique u vérifie $u_{3} = 26$, et la somme $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{9}$ vaut 350.
a) Exprime $u_{3}$ en fonction de $u_{0}$ et de la raison r.
b) Exprime la somme en fonction de $u_{0}$ et de r.
c) Détermine $u_{0}$ et r.

On considère la suite définie pour $n \ge 1$ par $u_{n} = 7n - 2$.
a) Justifie que cette suite est arithmétique.
b) Calcule $\sum\limits_{k=1}^{30} (7k - 2)$.
c) Calcule $\sum\limits_{k=11}^{30} (7k - 2)$.

On s'intéresse aux multiples de 7 compris entre 100 et 500.
a) Quel est le plus petit de ces multiples ? Et le plus grand ?
b) Combien y en a-t-il ?
c) Calcule la somme de tous les multiples de 7 compris entre 100 et 500.

Deux entreprises recrutent : A compte 200 salariés et en embauche 15 de plus chaque année ; B compte 320 salariés et en embauche 9 de plus chaque année. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ leurs effectifs au bout de n années.
a) Exprime $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de n.
b) Calcule $a_{10}$ et $b_{10}$.
c) Détermine le plus petit entier n tel que $a_{n} > b_{n}$.

Un coureur parcourt 3 km le premier jour de son entraînement, puis $0{,}5$ km de plus chaque jour.
a) Exprime la distance $d_{n}$ parcourue le n-ième jour.
b) Calcule la distance totale parcourue en 14 jours.
c) Quel est le premier jour à la fin duquel le coureur a parcouru plus de 100 km au total ?

Une personne rembourse une dette de $12\,000$ € sans intérêts : 300 € le premier mois, puis 20 € de plus chaque mois.
a) Exprime la mensualité $m_{n}$ du n-ième mois.
b) Exprime le montant total remboursé au bout de n mois.
c) Combien de mois faut-il pour rembourser entièrement la dette ?

Une salle de spectacle a 18 places au premier rang, puis 2 places de plus à chaque rang suivant.
a) Exprime le nombre de places $p_{n}$ du rang n.
b) Calcule le nombre total de places si la salle compte 20 rangs.
c) Combien de rangs faut-il au minimum pour offrir plus de $1\,000$ places ?

Deux offres de location sont proposées pour un local. Offre A : 500 € le premier mois, puis 12 € de plus chaque mois. Offre B : 620 € chaque mois.
a) Exprime le loyer du n-ième mois pour l'offre A.
b) Calcule le total payé sur 12 mois avec chaque offre.
c) À partir de combien de mois de location le total payé avec l'offre A dépasse-t-il celui payé avec l'offre B ?

On compare la somme des cubes $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ au carré de $1 + 2 + \dots + n$.
a) Calcule ces deux nombres pour $n = 1$, 2, 3 et 4.
b) Quelle égalité peux-tu conjecturer ?
c) Calcule $1^{3} + 2^{3} + \dots + 20^{3}$ sans additionner les vingt cubes.