Les suites géométriques

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1
Une action baisse de $10\,\%$ une année, puis monte de $60\,\%$ l'année suivante.
La moyenne des deux pourcentages, $25\,\%$ , appliquée deux années de suite, donne-t-elle le même résultat ? Justifie par un calcul.
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a) $0{,}9 \times 1{,}6 = 1{,}44$ .

b) On cherche q positif tel que $q^{2} = 1{,}44$ : c'est la moyenne géométrique des coefficients, $q = \sqrt{0{,}9 \times 1{,}6} = 1{,}2$ .
C'est une hausse de $20\,\%$ par an.

c) $1{,}25^{2} = 1{,}5625$ , et non $1{,}44$ .
Non : la moyenne des pourcentages surestime l'évolution ; c'est la moyenne géométrique des coefficients qui convient.
2
Une balle lâchée de 2 m remonte, après chaque rebond, à $60\,\%$ de la hauteur précédente. On note $h(n)$ la hauteur atteinte après le n-ième rebond, en mètres.
À partir de quel rebond la hauteur atteinte est-elle inférieure à 10 cm ?
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a) $h(1) = 2 \times 0{,}6 = 1{,}2$ et on multiplie par $0{,}6$ à chaque rebond : $h(n) = 2 \times 0{,}6^{n}$ .

b) Somme géométrique de premier terme $1{,}2$ , de raison $0{,}6$ , à 5 termes :
$S = 1{,}2 \times \frac{1 - 0{,}6^{5}}{1 - 0{,}6} = 3 \times (1 - 0{,}07776) \approx 2{,}77$ m.

c) $h(5) = 2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}156$ m : encore au-dessus de $0{,}1$ m.
$h(6) \approx 0{,}093$ m : en dessous.
C'est à partir du 6ᵉ rebond.
3
Dans un jeu, la première bonne réponse rapporte 1 €, et chaque bonne réponse suivante rapporte le double de la précédente.
Combien de bonnes réponses faut-il enchaîner pour que le gain total dépasse $1\,000\,000$ € ?
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4
Une suite géométrique à termes positifs vérifie $u(1) = 6$ et $u(3) = 54$ .
Détermine le plus petit entier n tel que la somme des n premiers termes dépasse $10\,000$ .
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5
Une ville compte $25\,000$ habitants, et sa population augmente de $2\,\%$ par an.
Au bout de combien d'années la population dépasse-t-elle $30\,000$ habitants ?
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6
Une carte de crédit laisse une dette de $2\,000$ € augmenter de $1{,}5\,\%$ par mois tant qu'elle n'est pas remboursée.
Au bout de combien de mois sans remboursement la dette dépasse-t-elle $2\,500$ € ?
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7
Un placement A de $10\,000$ € rapporte $5\,\%$ par an à intérêts simples ; un placement B de $10\,000$ € rapporte $4\,\%$ par an à intérêts composés.
À partir de combien d'années le placement B vaut-il plus que le placement A ?
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8
Deux évolutions de salaire annuel sont proposées, à partir de $24\,000$ € la première année. Proposition A : 720 € de plus chaque année. Proposition B : $2{,}5\,\%$ de plus chaque année. On note $a(n)$ et $b(n)$ le salaire annuel n années après l'embauche.
Détermine le plus petit entier n tel que $b(n) > a(n)$ .
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9
Une personne verse $1\,500$ € au début de chaque année sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an.
Au bout de combien d'années de versements la valeur acquise dépasse-t-elle $10\,000$ € ?
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10
Une personne verse 200 € au début de chaque mois pendant 2 ans sur un compte rapportant $0{,}3\,\%$ par mois.
a) Donne la raison de la suite géométrique en jeu et le nombre de versements.
b) Écris la valeur acquise au bout des 2 ans sous forme d'une somme géométrique.
c) Calcule cette valeur acquise et les intérêts gagnés, arrondis à l'euro.
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