Les suites géométriques

Une action baisse de $10\,\%$ une année, puis monte de $60\,\%$ l'année suivante.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global sur les deux ans.
b) Quel pourcentage identique, appliqué deux années de suite, donnerait le même résultat ?
c) La moyenne des deux pourcentages, $25\,\%$, appliquée deux années de suite, donne-t-elle le même résultat ? Justifie par un calcul.

Une balle lâchée de 2 m remonte, après chaque rebond, à $60\,\%$ de la hauteur précédente. On note $h_{n}$ la hauteur atteinte après le n-ième rebond, en mètres.
a) Exprime $h_{n}$ en fonction de n.
b) Calcule la somme des hauteurs atteintes lors des 5 premiers rebonds, arrondie au centimètre.
c) À partir de quel rebond la hauteur atteinte est-elle inférieure à 10 cm ?

Dans un jeu, la première bonne réponse rapporte 1 €, et chaque bonne réponse suivante rapporte le double de la précédente.
a) Combien rapporte la n-ième bonne réponse ?
b) Calcule le gain total après 15 bonnes réponses.
c) Combien de bonnes réponses faut-il enchaîner pour que le gain total dépasse $1\,000\,000$ € ?

Une suite géométrique à termes positifs vérifie $u_{1} = 6$ et $u_{3} = 54$.
a) Détermine sa raison.
b) Exprime la somme $S_{n}$ de ses n premiers termes en fonction de n.
c) Détermine le plus petit entier n tel que la somme des n premiers termes dépasse $10\,000$.

Une ville compte $25\,000$ habitants, et sa population augmente de $2\,\%$ par an.
a) Exprime la population $P_{n}$ au bout de n années.
b) Calcule $P_{5}$, arrondi à l'unité.
c) Au bout de combien d'années la population dépasse-t-elle $30\,000$ habitants ?

Une carte de crédit laisse une dette de $2\,000$ € augmenter de $1{,}5\,\%$ par mois tant qu'elle n'est pas remboursée.
a) Exprime la dette $D_{n}$ au bout de n mois.
b) Calcule $D_{12}$, arrondi au centime.
c) Au bout de combien de mois sans remboursement la dette dépasse-t-elle $2\,500$ € ?

Un placement A de $10\,000$ € rapporte $5\,\%$ par an à intérêts simples ; un placement B de $10\,000$ € rapporte $4\,\%$ par an à intérêts composés.
a) Exprime les valeurs $A_{n}$ et $B_{n}$ au bout de n années.
b) Calcule leurs valeurs au bout de 10 ans, arrondies au centime.
c) À partir de combien d'années le placement B vaut-il plus que le placement A ?

Deux évolutions de salaire annuel sont proposées, à partir de $24\,000$ € la première année. Proposition A : 720 € de plus chaque année. Proposition B : $2{,}5\,\%$ de plus chaque année. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ le salaire annuel n années après l'embauche.
a) Exprime $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de n.
b) Calcule $a_{5}$ et $b_{5}$, en arrondissant au centime.
c) Détermine le plus petit entier n tel que $b_{n} > a_{n}$.

Une personne verse $1\,500$ € au début de chaque année sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an.
a) Écris la valeur acquise à la fin de la 5ᵉ année comme une somme de termes d'une suite géométrique, en précisant le premier terme, la raison et le nombre de termes.
b) Calcule cette valeur acquise, arrondie au centime.
c) Au bout de combien d'années de versements la valeur acquise dépasse-t-elle $10\,000$ € ?

Une personne verse 200 € au début de chaque mois pendant 2 ans sur un compte rapportant $0{,}3\,\%$ par mois.
a) Donne la raison de la suite géométrique en jeu et le nombre de versements.
b) Écris la valeur acquise au bout des 2 ans sous forme d'une somme géométrique.
c) Calcule cette valeur acquise et les intérêts gagnés, arrondis à l'euro.