Continuité et valeurs intermédiaires

🟠 Difficile

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1
Démontre que l'équation $x^5 + x - 3 = 0$ admet une unique solution réelle, puis donne un encadrement d'amplitude $0{,}1$ .
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Posons $f(x) = x^5 + x - 3$ , continue sur l'ensemble des réels. Sa dérivée vaut $5x^4 + 1$ , strictement positive : la fonction est strictement croissante. Avec des limites valant $-\infty$ et $+\infty$ , elle prend chaque valeur réelle exactement une fois : l'équation a donc une unique solution.
On la localise : $f(1) = -1$ et $f(2) = 31$ , donc elle est dans $[1 ; 2]$ .
On affine : $f(1{,}1) \approx -0{,}29$ et $f(1{,}2) \approx 0{,}69$ . L'encadrement est donc $1{,}1 \lt x \lt 1{,}2$ .
2
Explique pourquoi la fonction partie entière ne vérifie pas la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires.
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Sur l'intervalle $[0 ; 1]$ , cette fonction vaut 0 partout sauf en 1, où elle vaut 1 : elle passe donc de 0 à 1 d'un coup.
Le nombre $0{,}5$ est pourtant compris entre ces deux valeurs, et aucun réel de l'intervalle ne lui est associé : l'équation n'a pas de solution.
C'est que l'hypothèse de continuité n'est pas vérifiée : la fonction présente un saut en 1. Ce contre-exemple montre que l'hypothèse n'est pas décorative.
3
Une fonction continue sur $[0 ; 1]$ vérifie $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ . Démontre qu'il existe un réel $c$ de cet intervalle tel que $f(c) = 0{,}5$ .
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4
Démontre que l'équation $\sqrt{x} = 3 - x$ admet une unique solution sur $[0 ; 9]$ .
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5
Une fonction continue sur $[0 ; 1]$ prend toutes ses valeurs dans $[0 ; 1]$ . Démontre qu'il existe un réel $c$ tel que $f(c) = c$ .
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6
Explique pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne permet pas de calculer la solution qu'il annonce.
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7
Une fonction continue décroît de 5 à $-2$ sur $[0 ; 3]$ , puis croît de $-2$ à 4 sur $[3 ; 6]$ . Détermine le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ .
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8
Écris un programme Python de dichotomie donnant une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la solution de $x^3 = 2$ dans $[1 ; 2]$ .
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9
Démontre que l'équation $x^4 = x + 3$ possède exactement deux solutions réelles.
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10
Indique si une fonction non continue peut malgré tout prendre toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$ .
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