Continuité et valeurs intermédiaires

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1
Démontre que l'équation $x^3 + x = 1$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0 ; 1]$ .
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Posons $f(x) = x^3 + x - 1$ , fonction polynôme donc continue sur $[0 ; 1]$ .
On calcule $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ : ces deux valeurs sont de signes contraires, donc 0 est compris entre elles.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c$ de $[0 ; 1]$ tel que $f(c) = 0$ , c'est-à-dire une solution à l'équation.
2
Détermine le nombre de solutions de l'équation $x^2 = 2$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ .
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La fonction carré est continue et strictement croissante sur $[0 ; 2]$ , où elle va de 0 à 4.
Le nombre 2 est compris entre 0 et 4 : le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version avec stricte monotonie, garantit une solution et une seule.
Cette solution est $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ .
3
Explique pourquoi la continuité est indispensable dans le théorème des valeurs intermédiaires.
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4
Indique si la fonction racine carrée est continue sur $[0 ; +\infty[$ .
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5
Démontre que l'équation $x^3 = 5$ admet une unique solution réelle.
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6
Explique en quoi consiste la méthode de dichotomie.
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7
Une fonction continue sur $[1 ; 4]$ vérifie $f(1) = -2$ et $f(4) = 3$ . Indique si elle s'annule sur cet intervalle.
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8
Indique si une fonction continue sur un intervalle y est nécessairement dérivable.
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9
Une fonction continue et strictement croissante sur $[0 ; 5]$ vérifie $f(0) = 0$ et $f(5) = 10$ . Donne le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$ .
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10
Détermine un encadrement d'amplitude $0{,}5$ de la solution de l'équation $x^3 = 2$ située dans $[1 ; 2]$ .
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