Continuité et valeurs intermédiaires

Soit $f$ un polynôme de degré impair $n$, de coefficient dominant $a$. Il est continu sur l'ensemble des réels.
À l'infini, le comportement est celui de $ax^n$. Comme $n$ est impair, $x^n$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$ : la fonction prend donc des valeurs aussi négatives et aussi positives que l'on veut, quel que soit le signe de $a$.
Il existe donc deux réels $u$ et $v$ tels que $f(u) \lt 0 \lt f(v)$, et le théorème des valeurs intermédiaires garantit une racine entre eux. Pour un degré pair, l'argument tombe : $x^2 + 1$ reste strictement positif.

Notons $m(t)$ son altitude à l'instant $t$ le samedi, et $d(t)$ celle du dimanche : les deux fonctions sont continues, car un marcheur ne se téléporte pas.
Posons $g(t) = m(t) - d(t)$, continue sur $[8 ; 12]$. À 8 h, le randonneur est en bas le samedi et en haut le dimanche, donc $g(8)$ est négatif ; à 12 h, c'est l'inverse, donc $g(12)$ est positif.
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit un instant $c$ où $g(c) = 0$, c'est-à-dire où les deux altitudes coïncident. L'énoncé équivaut à faire marcher deux randonneurs le même jour : ils se croisent forcément.