La convexité

🟠 Difficile

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1
Étudie la convexité de la fonction $f(x) = x^4 - 6x^2$ , puis détermine ses points d'inflexion.
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$f'(x) = 4x^3 - 12x$ , puis $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$ .
C'est un trinôme de coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur de $[-1 ; 1]$ et négatif entre $-1$ et 1. La fonction est donc convexe sur $]-\infty ; -1]$ et sur $[1 ; +\infty[$ , et concave sur $[-1 ; 1]$ .
La dérivée seconde change de signe en $-1$ et en 1 : il y a deux points d'inflexion, $(-1 ; -5)$ et $(1 ; -5)$ .
2
Démontre que la courbe de $f(x) = x^2$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1.
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La tangente a pour équation $y = 2x - 1$ , puisque $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ .
On étudie la différence : $x^2 - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ .
Un carré est toujours positif ou nul : la courbe est donc au-dessus de sa tangente, et ne la touche qu'au point de tangence, pour $x = 1$ . C'est la traduction directe de la convexité.
3
La dérivée seconde d'une fonction s'annule en 2 sans y changer de signe. Indique si la courbe admet un point d'inflexion en ce point.
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4
Détermine les intervalles de convexité de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur son ensemble de définition.
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5
Explique pourquoi une fonction convexe a nécessairement une dérivée croissante.
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6
Étudie la convexité de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ .
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7
Le coût de production de $q$ objets est modélisé par $C(q) = 0{,}01q^3 - 0{,}6q^2 + 15q$ . Détermine la quantité à partir de laquelle ce coût devient convexe.
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8
Démontre que la fonction $f(x) = x^4$ est convexe sur l'ensemble des réels.
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9
Détermine la position de la courbe de $f(x) = x^3$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse 0.
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10
Explique pourquoi la convexité se lit aussi sur la position de la courbe par rapport à ses cordes.
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