La convexité

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Dérivation et variations ».

1
Étudie la convexité de la fonction $f(x) = x^3$ .
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$f'(x) = 3x^2$ , puis $f''(x) = 6x$ .
Cette dérivée seconde est négative pour $x$ négatif et positive pour $x$ positif.
La fonction est donc concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$ . Le point d'abscisse 0 est un point d'inflexion.
2
Détermine le point d'inflexion de la courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ .
Voir le corrigéoffert
$f'(x) = 3x^2 - 3$ , puis $f''(x) = 6x$ .
Elle s'annule en 0 en changeant de signe : c'est donc bien un point d'inflexion.
Son ordonnée vaut $f(0) = 0$ : le point d'inflexion est l'origine $(0 ; 0)$ .
3
Calcule la dérivée seconde de la fonction $f(x) = x^4$ .
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4
Étudie la convexité de la fonction $f(x) = -x^2 + 5$ .
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5
Explique comment on reconnaît la convexité d'une fonction sur sa courbe.
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6
Détermine le point d'inflexion de la courbe de $f(x) = x^3 - 6x^2$ .
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7
Indique si la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$ .
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8
Donne le lien entre la convexité d'une fonction et les variations de sa dérivée.
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9
Calcule la dérivée seconde de la fonction $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x$ .
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10
Étudie la convexité de la fonction racine carrée sur $]0 ; +\infty[$ .
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