La convexité

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1
Démontre que si une fonction est convexe sur un intervalle, sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $a$ .
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Posons $g(x) = f(x) - \left[f'(a)(x - a) + f(a)\right]$ , c'est-à-dire l'écart entre la courbe et la tangente. On veut montrer que $g$ est positive.
Sa dérivée vaut $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Comme $f$ est convexe, $f'$ est croissante : donc $g'$ est négative pour $x \lt a$ et positive pour $x \gt a$ .
La fonction $g$ décroît donc jusqu'en $a$ , puis croît : elle atteint son minimum en $a$ , et ce minimum vaut $g(a) = 0$ . Donc $g$ est positive partout : la courbe est bien au-dessus de sa tangente.
2
Détermine les points d'inflexion de la courbe de $f(x) = x^4 - 4x^3$ .
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$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ , puis $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$ .
Cette dérivée seconde s'annule en 0 et en 2, et change de signe en chacun de ces points : elle est positive à l'extérieur de $[0 ; 2]$ et négative entre eux.
Il y a donc deux points d'inflexion : $(0 ; 0)$ et $(2 ; -16)$ . La fonction est convexe, puis concave, puis à nouveau convexe.
3
Démontre que la somme de deux fonctions convexes est convexe.
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4
La courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ . Explique pourquoi la tangente en ce point traverse la courbe.
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5
Étudie la convexité de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0 ; +\infty[$ .
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6
Démontre que $x^2 \geqslant 2x - 1$ pour tout réel $x$ , en utilisant une tangente à la parabole.
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7
Détermine le réel $a$ pour que la courbe de $f(x) = x^3 + ax^2$ admette un point d'inflexion au point d'abscisse 2.
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8
Une fonction est convexe sur un intervalle et sa dérivée s'annule en un point $a$ de cet intervalle. Démontre que $a$ est un minimum.
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9
Explique ce que la convexité d'une fonction de coût apporte comme information économique.
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10
Démontre que la fonction racine carrée est concave sur $]0 ; +\infty[$ .
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