Dérivée et sens de variation

🟠 Difficile

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1
Étudie les variations de la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ , puis décris son tableau de variations.
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$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , qui s'annule en $-1$ et en 1.
C'est un polynôme du second degré de coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.
La fonction croît donc sur $]-\infty ; -1]$ , décroît sur $[-1 ; 1]$ , puis croît sur $[1 ; +\infty[$ . Elle présente un maximum local $f(-1) = 2$ et un minimum local $f(1) = -2$ .
2
Détermine les variations de la fonction $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ sur $]-1 ; +\infty[$ .
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La formule du quotient donne $f'(x) = \dfrac{1 \times (x+1) - x \times 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ .
Le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un carré strictement positif sur cet intervalle.
La dérivée est donc strictement positive : la fonction est strictement croissante sur $]-1 ; +\infty[$ .
3
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Détermine ses dimensions pour que son aire soit maximale.
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4
Étudie les variations de la fonction $f(x) = x^4 - 2x^2$ .
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5
Détermine le minimum de la fonction $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ .
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6
Explique la différence entre un extremum local et un extremum global.
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7
La dérivée d'une fonction $f$ vaut $f'(x) = (x - 2)(x + 3)$ . Déduis-en les variations de $f$ .
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8
Démontre que la fonction $f(x) = x^3 + x$ est strictement croissante sur l'ensemble des réels.
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9
On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de 12 cm de côté, en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin. Détermine la valeur de $x$ qui rend le volume maximal.
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10
Détermine le nombre de solutions de l'équation $x^3 - 3x = 1$ , à l'aide du tableau de variations.
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