Dérivée et sens de variation

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1
Étudie le sens de variation de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 1$ .
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$f'(x) = 2x - 6$ , qui s'annule en 3.
Elle est négative pour $x \lt 3$ et positive pour $x \gt 3$ .
La fonction décroît donc sur $]-\infty ; 3]$ puis croît sur $[3 ; +\infty[$ . Le minimum vaut $f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$ .
2
Dresse le tableau de signes de la fonction $f'(x) = 2x - 8$ .
Voir le corrigéoffert
On résout $2x - 8 = 0$ , soit $x = 4$ .
C'est une fonction affine de coefficient 2, positif : elle est donc négative avant 4 et positive après.
Le tableau comporte deux colonnes : signe moins sur $]-\infty ; 4[$ , zéro en 4, signe plus sur $]4 ; +\infty[$ .
3
Détermine l'extremum de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 7$ , et précise sa nature.
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4
Étudie le sens de variation de la fonction $f(x) = -x^2 + 2x$ .
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5
Détermine le sens de variation de la fonction $f(x) = x^3$ en étudiant le signe de sa dérivée.
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6
Explique pourquoi une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'extremum.
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7
Justifie, à l'aide de sa dérivée, que la fonction inverse est décroissante sur $]0 ; +\infty[$ .
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8
Calcule le maximum de la fonction $f(x) = -2x^2 + 8x$ .
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9
Détermine le sens de variation de la fonction racine carrée sur $]0 ; +\infty[$ .
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10
Donne les variations de la fonction $f(x) = x^2$ sur l'ensemble des réels.
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