Dérivée et sens de variation

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ quand $b$ se rapproche de $a$.
Si la dérivée reste positive, ces taux de variation sont positifs au voisinage de chaque point : en passant de $a$ à un $b$ légèrement plus grand, l'image augmente. En enchaînant ces petits déplacements d'un bout à l'autre de l'intervalle, l'image ne peut que croître.
La démonstration rigoureuse repose sur le théorème des accroissements finis, admis au lycée, qui affirme qu'il existe toujours un point où la pente de la tangente égale celle de la sécante.

La fonction est définie pour $x \ne 1$. La formule du quotient donne $f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
Le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui de $x(x - 2)$ : positif à l'extérieur de $[0 ; 2]$, négatif entre 0 et 2.
La fonction croît sur $]-\infty ; 0]$, décroît sur $[0 ; 1[$ puis sur $]1 ; 2]$, et croît sur $[2 ; +\infty[$. Elle admet un maximum local $f(0) = 0$ et un minimum local $f(2) = 4$, qui est pourtant supérieur au maximum local : c'est possible parce que la valeur 1 est exclue et coupe la courbe en deux morceaux.