Échantillonnage et fluctuation

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1
Démontre que la demi-largeur $\frac{1}{\sqrt{n}}$ majore toujours la demi-largeur exacte $2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ , quelle que soit la valeur de $p$ .
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Il suffit de comparer $2\sqrt{p(1-p)}$ à 1, c'est-à-dire $4p(1-p)$ à 1.
Or $4p(1-p) = 1 - (2p-1)^2 \leqslant 1$ , avec égalité uniquement pour $p = 0{,}5$ .
La demi-largeur exacte est donc toujours inférieure ou égale à $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : la formule simplifiée est prudente, et elle est exacte dans le cas le plus défavorable, $p = 0{,}5$ .
2
Un fabricant annonce 2 % de défauts. Un client teste 1 000 pièces et en trouve 31 défectueuses. Détermine si l'annonce est contredite au seuil de 95 %, en utilisant l'intervalle exact $\left[p - 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\,;\,p + 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$ .
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$\sqrt{\frac{0{,}02 \times 0{,}98}{1\,000}} = \sqrt{0{,}000\,019\,6} \approx 0{,}004\,43$ , donc la demi-largeur vaut environ $0{,}008\,9$ .
L'intervalle est environ $[0{,}011\,1\,;\,0{,}028\,9]$ .
La proportion observée vaut $0{,}031$ , qui est hors de l'intervalle : l'annonce est contredite au seuil de 95 %. La formule simplifiée aurait donné $[0\,;\,0{,}051\,6]$ et n'aurait rien décelé, car elle est très prudente quand $p$ est loin de $0{,}5$ .
3
Un test est dit significatif au seuil de 5 % quand il rejette à tort l'hypothèse une fois sur vingt. Explique pourquoi, en répétant 100 tests indépendants sur des hypothèses toutes vraies, on attend environ 5 rejets, et ce que cela implique.
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4
Une proportion inconnue est estimée par un échantillon de 2 500 personnes donnant $0{,}48$ . Détermine l'intervalle de confiance à 95 %, puis la taille nécessaire pour que la borne inférieure dépasse $0{,}47$ .
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5
Dans une urne de composition inconnue, on tire 200 boules avec remise et on obtient 68 rouges. Donne un intervalle de confiance pour la proportion de rouges, puis dis si la composition « une boule sur trois est rouge » est compatible avec l'observation.
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6
Deux échantillons indépendants de taille 1 000 donnent respectivement 52 % et 48 % d'approbation. Dis si l'on peut conclure que les deux populations diffèrent, en comparant les intervalles.
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7
Un échantillon de taille $n$ donne une proportion observée $f$ . Démontre que la largeur de l'intervalle de confiance ne dépend pas de $f$ avec la formule simplifiée, et explique pourquoi c'est un défaut.
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8
Une proportion réelle vaut $0{,}3$ . On prélève un échantillon de taille 100. Calcule la probabilité approximative que la proportion observée dépasse $0{,}4$ , en utilisant l'écart type exact et la règle des deux écarts types.
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9
Explique pourquoi augmenter la taille d'un échantillon ne corrige jamais un biais de sélection, en construisant un exemple chiffré.
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10
Un contrôle qualité rejette un lot si la proportion de défauts observée sur 500 pièces dépasse 4 %. Le taux réel vaut 3 %. Calcule la probabilité approximative de rejeter à tort le lot.
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