La fonction exponentielle

On applique la formule de la dérivée de $e^{u}$, qui vaut $u'e^{u}$.
Ici $u(x) = -x^{2}$, donc $u'(x) = -2x$.
Donc $f'(x) = -2x\,e^{-x^{2}}$. Comme l'exponentielle est positive, le signe est celui de $-2x$ : cette fonction, la fameuse courbe en cloche, croît puis décroît, avec un maximum en 0.

On pose $X = e^{x}$, ce qui est légitime car $e^{2x} = \left(e^{x}\right)^{2} = X^{2}$. L'équation devient $X^{2} - 3X + 2 = 0$.
Le discriminant vaut $9 - 8 = 1$, donc $X = 1$ ou $X = 2$.
On revient à $x$ : $e^{x} = 1$ donne $x = 0$, et $e^{x} = 2$ donne $x = \ln(2) \approx 0{,}69$. Il y a donc deux solutions. Le changement de variable est le réflexe à avoir devant une équation contenant $e^{2x}$ et $e^{x}$.