La fonction exponentielle

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1
Démontre que $e^{x} \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$ .
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Posons $g(x) = e^{x} - x - 1$ , dérivable sur l'ensemble des réels.
$g'(x) = e^{x} - 1$ , qui s'annule en 0 : négative avant, positive après, puisque l'exponentielle est croissante et vaut 1 en 0. La fonction $g$ décroît donc jusqu'en 0 puis croît : elle y atteint son minimum.
Or $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$ . Donc $g(x) \geqslant 0$ pour tout réel, c'est-à-dire $e^{x} \geqslant x + 1$ , avec égalité uniquement en 0. C'est l'inégalité la plus utilisée du chapitre : elle traduit la convexité de l'exponentielle.
2
Étudie la fonction $f(x) = e^{x} - x$ et détermine son minimum.
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$f'(x) = e^{x} - 1$ , qui s'annule en 0 en passant du négatif au positif.
La fonction décroît donc sur $]-\infty ; 0]$ puis croît sur $[0 ; +\infty[$ : il s'agit bien d'un minimum.
Il vaut $f(0) = 1 - 0 = 1$ . On en déduit que $e^{x} - x \geqslant 1$ pour tout réel, ce qui est une autre écriture de l'inégalité $e^{x} \geqslant x + 1$ .
3
Résous l'équation $e^{x} + e^{-x} = 2$ .
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4
Détermine la limite de $\dfrac{e^{x} - 1}{x}$ quand $x$ tend vers 0.
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5
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = e^{x}\sin(x)$ .
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6
Démontre que la fonction $f(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ est impaire et strictement croissante.
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7
Détermine les variations de la fonction $f(x) = (x^{2} - 2)e^{x}$ .
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8
Démontre la relation $e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}$ en étudiant la fonction $g(x) = e^{a+x}\,e^{-x}$ .
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9
Un capital placé à intérêts composés continus vérifie $C(t) = C_{0}\,e^{0{,}04t}$ , où $t$ est en années. Détermine le temps de doublement.
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10
Démontre que la fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur l'ensemble des réels vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$ .
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