Les homothéties

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1
Démontre que l'image d'une droite ne passant pas par le centre est une droite qui lui est parallèle.
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Soient $A$ et $B$ deux points de la droite, $O$ le centre et $k$ le rapport. Les images $A'$ et $B'$ vérifient $OA' = |k| \times OA$ sur la droite $(OA)$ , et $OB' = |k| \times OB$ sur $(OB)$ .
Dans la configuration de Thalès formée par les droites $(OA)$ et $(OB)$ coupées par $(AB)$ et $(A'B')$ , les rapports $\dfrac{OA'}{OA}$ et $\dfrac{OB'}{OB}$ sont égaux à $|k|$ , et les points sont disposés dans le même ordre.
La réciproque du théorème de Thalès donne alors $(A'B')$ parallèle à $(AB)$ ; comme l'alignement est conservé, l'image de la droite est bien une droite parallèle.
2
Une maquette est réalisée à l'échelle 1/50. Donne le rapport de l'homothétie, puis les rapports des aires et des volumes.
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Le rapport de l'homothétie vaut $\dfrac{1}{50}$ , soit 0,02 : c'est une réduction.
Les aires sont multipliées par $\left(\dfrac{1}{50}\right)^2 = \dfrac{1}{2500}$ .
Les volumes sont multipliés par $\left(\dfrac{1}{50}\right)^3 = \dfrac{1}{125\,000}$ : une maquette cinquante fois plus petite a un volume cent vingt-cinq mille fois plus petit.
3
Un triangle d'aire 12 cm² a pour image, par une homothétie, un triangle d'aire 108 cm². Calcule la valeur absolue du rapport.
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4
Un cube d'arête 3 cm subit une homothétie de rapport 2. Calcule le volume de son image.
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5
Dans un repère, calcule les coordonnées de l'image de $M(2 ; -3)$ par l'homothétie de centre l'origine et de rapport $-2$ .
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6
Explique pourquoi une homothétie de rapport négatif retourne la figure.
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7
Un triangle $ABC$ a pour image $A'B'C'$ par une homothétie. Cite trois rapports de longueurs qui sont égaux.
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8
Une photographie de 10 cm de largeur et 15 cm de hauteur est agrandie : sa largeur passe à 25 cm. Calcule le rapport, puis la nouvelle hauteur.
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9
Explique pourquoi l'homothétie conserve les mesures d'angles alors qu'elle modifie les longueurs.
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10
Détermine le rapport d'une homothétie de centre $O$ qui transforme un segment de 8 cm en un segment de 6 cm, les deux figures étant du même côté de $O$ .
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