Les homothéties

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1
Démontre que l'aire d'une figure est multipliée par $k^2$ lors d'une homothétie de rapport $k$ .
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Considérons d'abord un rectangle de dimensions $L$ et $\ell$ : son image est un rectangle de dimensions $|k|L$ et $|k|\ell$ , dont l'aire vaut $|k|L \times |k|\ell = k^2 \times L\ell$ .
Toute figure peut être approchée d'aussi près que l'on veut par une réunion de petits rectangles, dont chacun voit son aire multipliée par $k^2$ .
L'aire totale est donc elle aussi multipliée par $k^2$ ; le même raisonnement avec des petits cubes donne $k^3$ pour les volumes.
2
Démontre que l'enchaînement de deux homothéties de même centre, de rapports $k$ et $k'$ , est l'homothétie de ce centre et de rapport $k \times k'$ .
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Plaçons le centre à l'origine d'un repère : la première homothétie envoie $M(x ; y)$ sur $(kx ; ky)$ .
La seconde envoie ce point sur $(k'kx ; k'ky)$ .
Chaque coordonnée a donc été multipliée par $k \times k'$ : c'est exactement l'homothétie de même centre et de rapport $k k'$ . En particulier, deux homothéties de rapports inverses se défont l'une l'autre.
3
Une statue de 2 m de haut pèse 400 kg. On en réalise une réduction à l'échelle 1/4, dans le même matériau. Calcule sa masse.
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4
Explique le lien entre le théorème de Thalès et l'homothétie.
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5
Dans un triangle $ABC$ , les points $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ . Montre que $[IJ]$ est l'image de $[BC]$ par une homothétie, et donne ses éléments.
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6
Un ballon sphérique est gonflé jusqu'à ce que son rayon double. Calcule les nombres par lesquels sa surface et son volume sont multipliés.
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7
Explique pourquoi deux figures homothétiques sont toujours semblables, puis précise si la réciproque est vraie.
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8
Détermine la transformation obtenue en enchaînant l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ , puis la symétrie centrale de centre $O$ .
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9
Dans un repère, l'homothétie de centre $A(a ; b)$ et de rapport $k$ transforme $M(x ; y)$ en $M'$ . Exprime les coordonnées de $M'$ .
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10
Explique, à l'aide des rapports d'aires et de volumes, pourquoi un insecte agrandi cent fois ne pourrait pas tenir debout.
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