Le produit scalaire

🟠 Difficile

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1
Démontre que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ .
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On développe le carré scalaire de la somme : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ .
Par distributivité et symétrie, cela vaut $\|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .
En isolant le terme central : $2\,\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$ , d'où la formule annoncée. Elle permet de définir le produit scalaire à partir des seules longueurs.
2
Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ pour $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ et $C(1 ; 3)$ , arrondie au centième de degré.
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On a $\overrightarrow{AB}(4 ; 0)$ et $\overrightarrow{AC}(1 ; 3)$ , donc le produit scalaire vaut $4 \times 1 + 0 \times 3 = 4$ .
Les normes valent 4 et $\sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ , donc $\cos(\theta) = \dfrac{4}{4\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}3162$ .
Donc $\theta = \arccos(0{,}3162) \approx 71{,}57$ degrés.
3
Détermine la valeur de $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}(3 ; m)$ et $\vec{v}(2 ; -6)$ soient orthogonaux.
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4
Donne une équation cartésienne de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et admettant $\vec{n}(3 ; -4)$ pour vecteur normal.
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5
Donne l'énoncé du théorème d'Al-Kashi, et précise ce qu'il devient dans un triangle rectangle.
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6
Dans un triangle $ABC$ , on a $AB = 5$ , $AC = 7$ et l'angle en $A$ mesure 60°. Calcule $BC$ , arrondi au centième.
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7
Explique l'interprétation du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale.
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8
Donne un vecteur normal à la droite d'équation $2x - 5y + 1 = 0$ .
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9
Démontre, à l'aide du produit scalaire, que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
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10
Le point $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ , avec $AH = 3$ et $AB = 8$ , les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ étant de même sens. Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
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