Le produit scalaire

Partons de l'identité $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$, qui découle du développement du carré scalaire.
En coordonnées, $\|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2$, $\|\vec{v}\|^2 = x'^2 + y'^2$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2$.
En développant et en simplifiant, il reste $\dfrac{1}{2}\left(2xx' + 2yy'\right) = xx' + yy'$. Les deux expressions coïncident donc, à condition que le repère soit orthonormé, puisque la formule de la norme l'exige.

Dans un triangle $ABC$, écrivons $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ par la relation de Chasles.
En prenant le carré scalaire : $BC^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$.
Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos(\widehat{A})$. En notant $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$, on obtient $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$.