Le produit scalaire

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1
Deux vecteurs ont pour normes 3 et 5, et forment un angle de 60°. Calcule leur produit scalaire.
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On applique la formule avec les normes et le cosinus.
$3 \times 5 \times \cos(60°) = 15 \times 0{,}5$ .
Le produit scalaire vaut donc 7,5.
2
Détermine si les vecteurs $\vec{u}(2 ; 5)$ et $\vec{v}(-5 ; 2)$ sont orthogonaux.
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On calcule leur produit scalaire : $2 \times (-5) + 5 \times 2 = -10 + 10$ .
Le résultat vaut 0.
Les deux vecteurs sont donc orthogonaux. On remarque la recette générale : pour obtenir un vecteur orthogonal à $(x ; y)$ , on prend $(-y ; x)$ .
3
Calcule la mesure de l'angle formé par $\vec{u}(1 ; 0)$ et $\vec{v}(1 ; 1)$ .
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4
Développe l'expression $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ .
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5
Avec $A(1 ; 2)$ , $B(4 ; 6)$ et $C(0 ; 5)$ , calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
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6
Explique pourquoi l'égalité $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ signifie que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
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7
Calcule la norme de $\vec{u}(6 ; 8)$ en passant par le carré scalaire.
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8
Explique pourquoi un produit scalaire peut être négatif.
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9
Deux vecteurs ont pour normes 4 et 2, et leur produit scalaire vaut 8. Détermine l'angle qu'ils forment.
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10
Deux vecteurs de même sens ont pour normes 3 et 7. Calcule leur produit scalaire.
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