La réciproque de Pythagore

Soit un triangle $ABC$ tel que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Construisons à part un triangle $A'B'C'$ rectangle en $A'$, avec $A'B' = AB$ et $A'C' = AC$.
Par le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle rectangle, $B'C'^2 = A'B'^2 + A'C'^2 = AB^2 + AC^2$. Or cette somme vaut $BC^2$ par hypothèse, donc $B'C'^2 = BC^2$ et, les longueurs étant positives, $B'C' = BC$.
Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont donc leurs trois côtés deux à deux de même longueur : ils sont superposables. En particulier l'angle en $A$ est égal à l'angle en $A'$, qui est droit : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

On cherche les entiers $a < b < 25$ tels que $a^2 + b^2 = 625$.
En essayant les valeurs de $b$ de 24 vers le bas : $625 - 24^2 = 49 = 7^2$, donc $(7 ; 24 ; 25)$ convient ; $625 - 20^2 = 225 = 15^2$, donc $(15 ; 20 ; 25)$ convient aussi. Les autres différences, $625 - 23^2 = 96$, $625 - 22^2 = 141$, $625 - 21^2 = 184$, et ainsi de suite, ne sont pas des carrés parfaits.
Il y a donc exactement deux solutions : 7, 24, 25 et 15, 20, 25, cette dernière étant le triplet 3, 4, 5 multiplié par 5.