Le théorème de Pythagore

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1
Démontre le théorème de Pythagore en découpant un carré de côté $a + b$ .
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On trace un carré de côté $a + b$ et l'on place sur chaque côté un point qui le partage en deux morceaux de longueurs $a$ et $b$ , en tournant toujours dans le même sens. En reliant ces quatre points, on obtient quatre triangles rectangles de côtés $a$ et $b$ , et un quadrilatère central dont les côtés valent tous $c$ , l'hypoténuse de ces triangles.
Ce quadrilatère central est un carré : ses quatre côtés sont égaux, et ses angles valent $180° - (\alpha + \beta) = 90°$ , puisque les deux angles aigus d'un triangle rectangle ont pour somme 90°.
L'aire du grand carré se calcule alors de deux façons : $(a + b)^2$ d'une part, et $c^2 + 4 \times \dfrac{ab}{2}$ d'autre part. En développant, $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$ , donc $a^2 + b^2 = c^2$ .
2
Calcule la longueur de la grande diagonale d'un pavé droit de dimensions 3 cm, 4 cm et 12 cm.
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La diagonale de la face de 3 cm sur 4 cm a pour carré $3^2 + 4^2 = 25$ .
La grande diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par cette diagonale de face et l'arête de 12 cm : son carré vaut $25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ .
Donc la grande diagonale vaut $\sqrt{169} = 13$ centimètres.
3
Une pyramide régulière a pour base un carré de côté 10 cm, et ses arêtes latérales mesurent 13 cm. Calcule sa hauteur, arrondie au dixième.
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4
Un triangle rectangle a un périmètre de 30 cm et une hypoténuse de 13 cm. Détermine les longueurs des deux autres côtés.
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5
Démontre que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, le triangle de côtés $n^2 - 1$ , $2n$ et $n^2 + 1$ est rectangle.
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6
Dans un triangle rectangle de côtés 6 cm et 8 cm, calcule la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit.
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7
Explique pourquoi il n'existe aucun triangle rectangle dont les trois côtés sont des nombres entiers de centimètres et dont l'hypoténuse mesure 4 cm.
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8
Dans un repère orthonormé, démontre que le triangle de sommets $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 2)$ et $C(-1 ; 2)$ est rectangle, et précise en quel sommet.
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9
Les bâtisseurs utilisaient une corde à treize nœuds régulièrement espacés pour tracer des angles droits. Explique pourquoi cette méthode fonctionne.
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10
Un mât vertical de 12 m est maintenu par deux câbles partant de son sommet et fixés au sol de part et d'autre, à 5 m et à 9 m de son pied. Calcule la longueur totale de câble nécessaire.
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