Bac de maths 2025 Asie : sujet et corrigé

Données

Repère orthonormé $(O \,;\, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$. Points A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 1 ; 0), C(α ; 3 ; α) avec α réel quelconque. Droite (d) : $x = 1 + t$, $y = 2t$, $z = -t (t \in \mathbb{R} )$, de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$. On calcule d'abord deux vecteurs utiles : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2-1 \\ 1-1 \\ 0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}\alpha -1 \\ 3-1 \\ \alpha -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha -1 \\ 2 \\ \alpha\end{pmatrix}$.

Affirmation 1. FAUSSE

On veut savoir si $\vec{\jmath} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC). Méthode : un vecteur normal doit être orthogonal aux DEUX vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Vérification : $\vec{\jmath} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\times 1 + 1\times 0 + 0\times 0 = 0$ (bon), mais $\vec{\jmath} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\times (\alpha -1) + 1\times 2 + 0\times \alpha = 2 \ne 0$. Donc $\vec{\jmath}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{AC}$ : ce n'est PAS un vecteur normal au plan. (Les points définissent bien un plan, car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont jamais colinéaires : la 2ᵉ coordonnée de $\overrightarrow{AC}$ vaut $2 \ne 0$ tandis que celle de $\overrightarrow{AB}$ vaut 0.) Conclusion : affirmation FAUSSE.

Affirmation 2. FAUSSE

(AC) ∥ (d) ⟺ $\overrightarrow{AC}$ colinéaire à $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AC} = k\cdot \vec{u}$ pour un réel k. On compare coordonnée par coordonnée. 2ᵉ coordonnée : $2 = 2k$, donc $k = 1$. 1ʳᵉ coordonnée : $\alpha - 1 = k = 1$, donc $\alpha = 2$. 3ᵉ coordonnée : $\alpha = -k = -1$. On aurait besoin à la fois de $\alpha = 2$ et $\alpha = -1$ : c'est impossible. Aucune valeur de α ne rend les droites parallèles. Conclusion : affirmation FAUSSE (il en existe zéro, et non pas exactement une).

Affirmation 3. VRAIE

L'angle $\widehat{OAB}$ a pour sommet A ; on utilise les vecteurs $\overrightarrow{AO} = \begin{pmatrix}0-1 \\ 0-1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$. Produit scalaire : $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB} = (-1)\times 1 + (-1)\times 0 + 0\times 0 = -1$. Normes : $|\overrightarrow{AO}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} = \sqrt{2}$ et $|\overrightarrow{AB}| = 1$. Donc $\cos (\widehat{OAB}) = \frac{-1}{(\sqrt{2} \times 1)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. L'angle dont le cosinus vaut $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ mesure $135^{\circ}$. Conclusion : affirmation VRAIE.

Affirmation 4. FAUSSE

Pour que H soit le projeté orthogonal de A sur (d), il faut D'ABORD que H appartienne à (d). Test de H(1 ; 2 ; 2) : de $x = 1 + t = 1$ on tire $t = 0$ ; mais alors $y = 2t = 0 \ne 2$. Le point H(1 ; 2 ; 2) n'est même pas sur la droite (d), il ne peut donc pas en être le projeté. Conclusion : affirmation FAUSSE. (Le vrai projeté s'obtient en cherchant t tel que $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{u} = 0$ avec $M(1+t \,;\, 2t \,;\, -t)$ : $\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}t \\ 2t-1 \\ -t\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{u} = t + 2(2t-1) + t = 6t - 2 = 0$, d'où $t = \frac{1}{3}$ et le projeté est $(\frac{4}{3} \,;\, \frac{2}{3} \,;\, -\frac{1}{3})$.)

Affirmation 5. VRAIE

Un point de (d) s'écrit $M(1+t \,;\, 2t \,;\, -t)$. Distance à O : $OM^{2} = (1+t)^{2} + (2t)^{2} + (-t)^{2} = 1 + 2t + t^{2} + 4t^{2} + t^{2} = 6t^{2} + 2t + 1$. M est sur la sphère de centre O et de rayon 1 ⟺ $OM^{2} = 1^{2} = 1$, soit $6t^{2} + 2t + 1 = 1$ ⟺ $6t^{2} + 2t = 0$ ⟺ $2t(3t + 1) = 0$ ⟺ $t = 0$ ou $t = -\frac{1}{3}$. Deux valeurs distinctes de t donnent deux points d'intersection distincts (les points (1 ; 0 ; 0) et $(\frac{2}{3} \,;\, -\frac{2}{3} \,;\, \frac{1}{3})$). Conclusion : affirmation VRAIE.

Kala t'explique :Un vecteur $\vec{n}$ n'est normal à un plan que s'il est perpendiculaire à DEUX directions du plan, pas à une seule. Teste toujours les deux : c'est comme vérifier qu'un piquet de tente tient sur ses deux cordes, pas une !