Bac de maths 2025 Métropole jour 2 : sujet et corrigé

Partie A, 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

On note A « chute à la 1re séance » et B « chute à la 2e séance ». On place sur les premières branches P(A)=0,6 et P(Ā)=0,4. Puis les probabilités conditionnelles : sachant A, P(B|A)=0,3 et P(B̄|A)=0,7 ; sachant Ā, P(B|Ā)=0,4 et P(B̄|Ā)=0,6.

Kala t'explique :Un arbre pondéré, c'est comme un plan de métro : à chaque station tu choisis une branche. Pour suivre un chemin complet tu MULTIPLIES les probas le long des branches. Et quand plusieurs chemins mènent au même événement, tu les ADDITIONNES : c'est la formule des probabilités totales !

2. Calculer $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ et interpréter.

L'événement $\overline{A} \cap \overline{B}$ correspond au chemin « pas de chute à la 1re » puis « pas de chute à la 2e ». On multiplie les probabilités de ce chemin : $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}|\overline{A}) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$. Interprétation : la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est 0,24, soit 24 %.

3. Montrer que $P(B) = 0{,}34$.

Les événements A et Ā forment une partition. D'après la formule des probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A)\times P(B|A) + P(\overline{A})\times P(B|\overline{A}) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}16 = 0{,}34$.

4. La personne ne chute pas à la 2e séance : probabilité qu'elle n'ait pas chuté à la 1re.

On cherche la probabilité conditionnelle P(Ā sachant B̄). D'abord $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66$. Et on a $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}24$ (question 2). Donc $P(\overline{A} | \overline{B}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0{,}24}{0{,}66} \approx 0{,}364$.

Kala t'explique :Attention au sens de la barre : ici on SAIT déjà qu'il n'y a pas eu de chute à la 2e séance (B̄), et on remonte vers la 1re. On divise donc par P(B̄), la probabilité de ce qu'on sait. C'est la probabilité conditionnelle : « quelle info me donne l'indice que je possède ? »

5.a. Montrer que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète 100 fois la même expérience (choix d'une personne), de façon identique et indépendante (tirage avec remise). Chaque expérience est un schéma de Bernoulli à deux issues : « ne chute ni à la 1re ni à la 2e » (succès) de probabilité $p = 0{,}24$, ou « chute au moins une fois » (échec) de probabilité 0,76. La variable X compte le nombre de succès parmi ces 100 répétitions indépendantes : X suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}24$.

5.b. Probabilité d'avoir au moins 20 personnes concernées.

On veut $P(X \ge 20) = 1 - P(X \le 19)$. À la calculatrice, pour X suivant la loi binomiale B(100 ; 0,24) : $P(X \le 19) \approx 0{,}145$. Donc $P(X \ge 20) \approx 1 - 0{,}145 \approx 0{,}855$.

5.c. Calculer E(X) et interpréter.

Pour une loi binomiale, $E(X) = n \times p = 100 \times 0{,}24 = 24$. Interprétation : en moyenne, sur un grand nombre d'échantillons de 100 personnes ayant souscrit à la formule, on s'attend à environ 24 personnes ne chutant ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

Kala t'explique :L'espérance $E(X)=n\times p$, c'est ta « moyenne attendue » sur beaucoup d'échantillons. 100 personnes $\times 24 \%$ de chance de ne jamais tomber $= 24$ personnes en moyenne. Une règle de trois déguisée : rien de sorcier !

Partie B, 1. Espérance E(T) et interprétation.

Par linéarité de l'espérance : $E(T) = E(T_{1} + T_{2}) = E(T_{1}) + E(T_{2}) = 40 + 60 = 100$. Interprétation : en moyenne, une personne venue le week-end attend 100 minutes au total avant d'accéder aux activités sur les deux jours.

2. Montrer que $V(T) = 356$.

Les variables $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, donc la variance de la somme est la somme des variances : $V(T) = V(T_{1}) + V(T_{2}) = \sigma (T_{1})^{2} + \sigma (T_{2})^{2} = 10^{2} + 16^{2} = 100 + 256 = 356$.

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(60 < T < 140) > 0{,}77$.

On a E(T) = 100. On remarque que 60 = 100 − 40 et 140 = 100 + 40, donc l'événement « 60 < T < 140 » s'écrit « |T − 100| < 40 ». L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : P(|T − E(T)| ≥ 40) ≤ $\frac{V(T)}{40^{2}}$ = $\frac{356}{1600}$ = 0,2225. Par passage au complémentaire : P(|T − 100| < 40) = 1 − P(|T − 100| ≥ 40) ≥ 1 − 0,2225 = 0,7775. Comme 0,7775 > 0,77, la probabilité cherchée est bien supérieure à 0,77.

Kala t'explique :Bienaymé-Tchebychev, c'est ton « filet de sécurité » quand tu ne connais pas la loi exacte : il majore la proba de s'éloigner beaucoup de la moyenne. Ici il garantit qu'au moins 77,75 % des personnes attendent entre 60 et 140 min. Pas besoin de connaître la loi de T !