Bac de maths 2026 Métropole jour 1 : sujet et corrigé

Partie A. Énoncé et données

On donne : $P(V) = 0{,}30$ (réserver un emplacement véhicule), la probabilité conditionnelle $P_V(C) = 0{,}80$ (réserver une cabine sachant qu'on réserve un véhicule) et $P(C) = 0{,}75$ (réserver une cabine).

1.a. Donner P(C)

L'énoncé indique directement que 75 % des familles réservent une cabine.
Donc $P(C) = 0{,}75$.

1.b. Arbre pondéré (compléter les quatre pointillés)

On place sur les branches de premier niveau $P(V) = 0{,}30$ et $P(\overline{V}) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70$.
Sur les branches issues de V : $P_V(C) = 0{,}80$ et $P_V(\overline{C}) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20$.
Ce sont les quatre valeurs demandées. Les probabilités des branches issues de V̄ ($P_{V}$̄(C) ≈ 0,73 et $P_{\overline{V}}(\overline{C}) \approx 0{,}27$) se calculent aux questions suivantes.

Kala t'explique :Vois l'arbre comme le plan du bateau : à chaque embranchement tu choisis un couloir. Le long d'un chemin tu MULTIPLIES les probabilités, et pour retrouver P(C) tu ADDITIONNES tous les couloirs qui arrivent à une cabine.

2. Probabilité de réserver véhicule ET cabine : $P(V \cap C)$

On suit le chemin V puis C : $P(V \cap C) = P(V) \times P_V(C) = 0{,}30 \times 0{,}80 = 0{,}24$.
Conclusion : la probabilité qu'une famille réserve un emplacement véhicule et une cabine est 0,24.

3. Une famille a réservé une cabine : probabilité qu'elle réserve un véhicule, $P_C(V)$

Par définition de la probabilité conditionnelle : $P_C(V) = \frac{P(V \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}24}{0{,}75} = 0{,}32$.
Conclusion : parmi les familles ayant réservé une cabine, 32 % réservent aussi un emplacement véhicule.

4. Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$ (arrondi à $10^{-2}$) et interpréter

La formule des probabilités totales donne $P(C) = P(V \cap C) + P(\overline{V} \cap C)$, donc $P(\overline{V} \cap C) = 0{,}75 - 0{,}24 = 0{,}51$.
Alors $P_{\overline{V}}(C) = \frac{P(\overline{V} \cap C)}{P(\overline{V})} = \frac{0{,}51}{0{,}70} \approx 0{,}73$.
Interprétation : parmi les familles qui ne réservent PAS d'emplacement pour un véhicule, environ 73 % réservent tout de même une cabine.

Partie B. Loi de la variable X (suppléments)

X donne le prix, en euro, des suppléments (100 € cabine, 70 € véhicule, cumulables). Loi de X : $P(X=0)=0{,}19$ ; $P(X=70)=0{,}06$ ; $P(X=100)=0{,}51$ ; $P(X=170)=0{,}24$. On admet $E(Y)=104$ et $V(Y)=1686$ pour les extras, X et Y indépendantes.

1. Justifier $E(X) = 96$ et $V(X) = 3114$

Espérance : $E(X) = 0\times 0{,}19 + 70\times 0{,}06 + 100\times 0{,}51 + 170\times 0{,}24 = 0 + 4{,}2 + 51 + 40{,}8 = 96$.
Moment d'ordre 2 : $E(X^{2}) = 70^{2}\times 0{,}06 + 100^{2}\times 0{,}51 + 170^{2}\times 0{,}24 = 4900\times 0{,}06 + 10000\times 0{,}51 + 28900\times 0{,}24 = 294 + 5100 + 6936 = 12330$.
Variance (formule de König-Huygens) : $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 12330 - 96^{2} = 12330 - 9216 = 3114$.
On a bien $E(X) = 96$ et $V(X) = 3114$.

2.a. Justifier $Z = 0{,}6(X + Y)$

Le montant total avant remise est $X + Y$ (suppléments + extras). Une remise de 40 % signifie qu'on ne paie plus que $100 \% - 40 \% = 60 \%$ du total, soit un facteur 0,6.
Donc $Z = 0{,}6 \times (X + Y)$.

2.b. En déduire $E(Z) = 120$ et $V(Z) = 1728$

Par linéarité de l'espérance : $E(Z) = 0{,}6 \times (E(X) + E(Y)) = 0{,}6 \times (96 + 104) = 0{,}6 \times 200 = 120$.
Pour la variance, avec le facteur au carré et l'indépendance de X et Y (donc $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$) : $V(Z) = 0{,}6^{2} \times (V(X) + V(Y)) = 0{,}36 \times (3114 + 1686) = 0{,}36 \times 4800 = 1728$.
Ainsi $E(Z) = 120$ et $V(Z) = 1728$.

3.a. Montrer $E(M_{n}) = 120$ et $V(M_{n}) = 1728/n$

Les $Z_i$ ont même loi que Z, donc $E(Z_{i}) = 120$ et $V(Z_{i}) = 1728$, et elles sont indépendantes.
Espérance : $E(M_{n}) = \frac{1}{n}$ × (E($Z_1$) + … + E($Z_n$)) $= \frac{1}{n} \times (n \times 120) = 120$.
Variance (le facteur $\frac{1}{n}$ passe au carré, et l'indépendance permet d'ajouter les variances) : $V(M_{n}) = \frac{1}{n^{2}}$ × (V($Z_1$) + … + V($Z_n$)) $= \frac{1}{n^{2}} \times (n \times 1728) = \frac{1728}{n}$.

3.b. Plus petit n avec $P(114 < M_{n} < 126)$ ⩾ 0,85 (Bienaymé-Tchebychev)

L'événement 114 < $M_n$ < 126 s'écrit |$M_n$ − 120| < 6 (car E($M_n$) = 120).
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|$M_n$ − 120| ⩾ 6) ⩽ $\frac{V(M_n)}{6^{2}}$ = $\frac{(1728/n)}{36}$ = $\frac{48}{n}$.
Donc P(114 < $M_n$ < 126) = 1 − P(|$M_n$ − 120| ⩾ 6) ⩾ 1 − $\frac{48}{n}$.
Il suffit d'assurer 1 − $\frac{48}{n}$ ⩾ 0,85, c'est-à-dire $\frac{48}{n}$ ⩽ 0,15, soit n ⩾ $\frac{48}{0{,}15}$ = 320.
Le plus petit entier convenable est n = 320.
Interprétation : en interrogeant au moins 320 familles bénéficiant de la remise, l'inégalité garantit qu'il y a au moins 85 % de chances que le prix moyen payé soit compris entre 114 € et 126 €.

Kala t'explique :Bienaymé-Tchebychev, c'est ta ceinture de sécurité : plus tu interroges de familles (n grand), plus la moyenne se resserre autour de 120 €. Ici, 320 familles suffisent pour être sûr à 85 %.