Bac de maths 2025 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Partie A, 1. Compléter l'arbre pondéré

Sur les premières branches on place les probabilités de passer par chaque serveur : $P(A)=0{,}25$ ; $P(B)=0{,}15$ ; et comme le total des probabilités vaut 1, $P(C)=1-0{,}25-0{,}15=0{,}60$. Sur les branches suivantes on place les probabilités de stabilité fournies par la maintenance : depuis A, $P_A(S)=0{,}90$ donc $P_A(\overline{S})=0{,}10$ ; depuis B, $P_B(S)=0{,}80$ donc $P_B(\overline{S})=0{,}20$ ; depuis C, $P_C(S)=0{,}85$ donc $P_C(\overline{S})=0{,}15$.

Partie A, 2. Montrer que $P(B\cap S)=0{,}12$

La probabilité de suivre la branche B puis la branche S est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin : $P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S)=0{,}15\times 0{,}80=0{,}12$. La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B vaut bien 0,12.

Partie A, 3. Calculer $P(C\cap \overline{S})$ et interpréter

$P(C\cap \overline{S})=P(C)\times P_C(\overline{S})=0{,}60\times 0{,}15=0{,}09$. Interprétation : il y a 9 % de chances qu'une connexion prise au hasard passe par le serveur C tout en étant instable (l'utilisateur subit alors une déconnexion).

Partie A, 4. Montrer que $P(S)=0{,}855$

Les événements A, B, C forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=P(A)\times P_A(S)+P(B)\times P_B(S)+P(C)\times P_C(S)=0{,}25\times 0{,}90+0{,}15\times 0{,}80+0{,}60\times 0{,}85=0{,}225+0{,}12+0{,}51=0{,}855$.

Kala t'explique :Pour P(S), additionne tous les chemins de l'arbre qui finissent par « stable ». Chaque chemin se calcule en MULTIPLIANT les probas le long des branches, puis tu ADDITIONNES les chemins entre eux. Multiplier le long, additionner entre : c'est la règle magique de l'arbre !

Partie A, 5. La connexion est stable : probabilité qu'elle vienne de B

On cherche la probabilité conditionnelle $P_S(B)=\frac{P(B\cap S)}{P(S)}=\frac{0{,}12}{0{,}855}\approx 0{,}140$. Sachant que la connexion est stable, la probabilité qu'elle soit passée par le serveur B est d'environ 0,140 (arrondi au millième).

Partie B, 1.a. Paramètres de la loi de X

On répète 50 fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une même épreuve à deux issues : « connexion instable » avec la probabilité $p=0{,}145$. La variable X qui compte les connexions instables suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}145$.

Partie B, 1.b. P(au plus 8 connexions instables)

On veut $P(X\le 8)$ avec X∼B(50 ; 0,145). À la calculatrice (fonction de répartition binomiale) : $P(X\le 8)\approx 0{,}704$. La probabilité qu'au plus huit connexions soient instables vaut environ 0,704 (arrondi au millième).

Partie B, 2.a. Expression de $p_n$

L'événement « au moins une connexion instable » est le contraire de « aucune connexion instable ». Avec $X_n$∼B(n ; 0,145), la probabilité qu'aucune connexion ne soit instable est $P(X_n=0)=(1-0{,}145)^n=0{,}855^n$. Donc $p_n=1-0{,}855^n$.

Partie B, 2.b. Plus petit n tel que $p_n \ge 0{,}99$

On résout $p_{n}$≥0,99, soit 1−0,8$55^{n}$≥0,99, c'est-à-dire 0,8$55^{n}$≤0,01. On applique le logarithme népérien (fonction croissante) : n×ln(0,855)≤ln(0,01). Comme ln(0,855)<0, on divise par ln(0,855) en CHANGEANT le sens de l'inégalité : n≥$\frac{ln(0{,}01)}{ln(0{,}855)}$≈29,4. Le plus petit entier qui convient est n=30. Vérification : pour n=29, $p_{29}$≈0,989<0,99, et pour n=30, $p_{30}$≈0,991≥0,99.

Kala t'explique :Dès que tu vois « au moins une fois », passe par le contraire « aucune fois » : c'est bien plus court ! Et quand l'inconnue est en exposant, le logarithme est ton allié pour la faire descendre. Surtout : diviser par un nombre négatif (ici ln(0,855)) retourne le sens de l'inégalité, ne te fais pas piéger !

Partie B, 3.a. Espérance $E(F_n)$

Par linéarité de l'espérance : $E(F_n)=E(\frac{X_n}{n})=\frac{E(X_n)}{n}$. Or, pour une loi binomiale, $E(X_n)=n\times 0{,}145$. Donc $E(F_n)=\frac{n\times 0{,}145}{n}=0{,}145$. L'espérance de la fréquence de connexions instables vaut 0,145.

Partie B, 3.b. Vérifier l'inégalité

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $F_{n}$, avec l'écart 0,1 : P(|$F_{n}$−0,145|≥0,1)≤$\frac{V(F_n)}{(0{,}1)^{2}}$. Comme V($F_{n}$)=$\frac{0{,}123975}{n}$ et (0,1)²=0,01, on obtient $\frac{V(F_n)}{(0{,}1)^{2}}$=$\frac{0{,}123975}{n}$÷0,01=$\frac{12{,}3975}{n}$. Comme 12,3975≤12,5, on a $\frac{12{,}3975}{n}$≤$\frac{12{,}5}{n}$. D'où : P(|$F_{n}$−0,145|≥0,1)≤$\frac{12{,}5}{n}$.

Partie B, 3.c. Le responsable a-t-il raison ?

Pour n=1000, l'inégalité donne P(|F_1000−0,145|≥0,1)≤$\frac{12{,}5}{1000}$=0,0125. Or l'échantillon observé donne F_1000=0,3, et |0,3−0,145|=0,155≥0,1 : on se trouve donc dans l'événement {|F_1000−0,145|≥0,1}, qui, en fonctionnement normal des serveurs, a une probabilité inférieure à 0,0125, soit moins de 1,25 % de chances de se produire. Observer un écart aussi grand est très improbable si tout fonctionne normalement : le responsable a donc raison de soupçonner un dysfonctionnement des serveurs.