Bac de maths 2025 Polynésie : sujet et corrigé

Partie A, 1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilité.

On note R « l'enfant habite en zone rurale » et A « l'enfant est atteint d'allergie alimentaire ». L'énoncé donne $P(R) = 0{,}17$, donc $P(\overline{R}) = 1 - 0{,}17 = 0{,}83$ (zone urbaine). L'information « parmi les ruraux, 6,2 % sont allergiques » est une probabilité conditionnelle : $P_R(A) = 0{,}062$, donc $P_R(\overline{A}) = 1 - 0{,}062 = 0{,}938$. On place ces valeurs sur les branches partant de R ; les branches partant de R̅ (vers A et A̅) seront complétées grâce aux questions suivantes.

Kala t'explique :Sur un arbre, tu multiplies les probabilités quand tu avances le long des branches (le « ET »), et tu additionnes les chemins qui aboutissent au même résultat (le « OU »). Retiens ça et l'exercice se déroule tout seul !

A.2.a. Probabilité que l'enfant habite en zone rurale ET soit allergique.

L'événement cherché est $R\cap A$. On multiplie les probabilités le long du chemin R puis A : $P(R\cap A) = P(R) \times P_R(A) = 0{,}17 \times 0{,}062 = 0{,}01054$.

A.2.b. En déduire la probabilité qu'il habite en zone urbaine ET soit allergique, $P(\overline{R}\cap A)$.

L'étude indique que 9 % de l'ensemble des enfants sont allergiques : $P(A) = 0{,}09$. D'après la formule des probabilités totales, $P(A) = P(R\cap A) + P(\overline{R}\cap A)$. On isole : $P(\overline{R}\cap A) = P(A) - P(R\cap A) = 0{,}09 - 0{,}01054 = 0{,}07946$.

A.2.c. L'enfant habite en zone urbaine : probabilité qu'il soit allergique (arrondi à $10^{-4}$).

On cherche la probabilité conditionnelle $P_{\overline{R}}(A) = \frac{P(\overline{R}\cap A)}{P(\overline{R})} = \frac{0{,}07946}{0{,}83} \approx 0{,}0957$. Autrement dit, environ 9,57 % des enfants des zones urbaines sont atteints d'allergie alimentaire.

Partie B, 1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète 100 fois la même expérience « l'enfant interrogé est-il allergique ? », les tirages étant indépendants (choix avec remise). Chaque expérience n'a que deux issues : succès A de probabilité p = 0,09, ou échec A̅ de probabilité 0,91, et cette probabilité reste constante à chaque tirage. La variable X compte le nombre de succès parmi les n = 100 répétitions : X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,09, notée B(100 ; 0,09).

B.2. Probabilité qu'au moins 10 enfants sur 100 soient allergiques (arrondi à $10^{-4}$).

« Au moins 10 » est l'événement contraire de « au plus 9 » : $P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)$. À la calculatrice (loi binomiale cumulée), $P(X \le 9) \approx 0{,}5875$, donc $P(X \ge 10) = 1 - 0{,}5875 \approx 0{,}4125$.

Kala t'explique :« Au moins 10 », c'est très long à calculer terme à terme. Passe par l'événement contraire « au plus 9 » et fais 1 moins le résultat de la calculatrice. Tu gagnes un temps fou le jour J !

Partie C, 1. Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ ?

$M_{20} = \frac{(A_{1}+A_{2}+⋯+A_{20})}{20}$ est la moyenne des 20 âges d'apparition des premiers symptômes. Elle représente donc l'âge moyen d'apparition de l'allergie alimentaire dans cet échantillon de 20 enfants.

C.2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.

Chaque $A_i$ a pour espérance 4 et variance 2,25. Par linéarité de l'espérance : $E(M_{20}) = \frac{1}{20}$ × (E($A_1$)+⋯+E($A_{20}$)) $= \frac{1}{20} \times (20 \times 4) = 4$. Comme les $A_i$ sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances : $V(M_{20}) = \frac{1}{20^{2}}$ × (V($A_1$)+⋯+V($A_{20}$)) $= \frac{1}{400} \times (20 \times 2{,}25) = \frac{2{,}25}{20} = 0{,}1125$.

C.3. Montrer, avec l'inégalité de concentration, que P(2 < $M_{20}$ < 6) > 0,97 et interpréter.

L'inégalité de concentration donne, pour tout δ > 0 : P(|$M_{20}$ − E($M_{20}$)| ≥ δ) ≤ $\frac{V(M_{20})}{δ^{2}}$. Or « 2 < $M_{20}$ < 6 » équivaut à « |$M_{20}$ − 4| < 2 », donc on prend δ = 2. Ainsi P(|$M_{20}$ − 4| ≥ 2) ≤ $\frac{0{,}1125}{2^{2}}$ = $\frac{0{,}1125}{4}$ = 0,028125. En passant à l'événement contraire : P(2 < $M_{20}$ < 6) = 1 − P(|$M_{20}$ − 4| ≥ 2) ≥ 1 − 0,028125 = 0,971875 > 0,97. Interprétation : dans plus de 97 % des échantillons de 20 enfants, l'âge moyen d'apparition de l'allergie est compris strictement entre 2 et 6 ans.