Suites arithmétiques et géométriques

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1
Une suite arithmétique u vérifie $u_{4} = 23$ et $u_{10} = 5$ .
Détermine le premier rang n pour lequel $u_{n}$ est strictement négatif.
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a) Du rang 4 au rang 10, il y a 6 pas : $5 = 23 + 6r$ , donc $6r = -18$ et $r = -3$ .
b) Pour reculer de 4 rangs, on ajoute 4 fois 3 : $u_{0} = 23 + 12 = 35$ .
c) La suite est décroissante. À partir de $u_{10} = 5$ : $u_{11} = 2$ , puis $u_{12} = -1$ .
Le premier rang pour lequel $u_{n}$ est strictement négatif est $n = 12$ .
2
Une substance perd la moitié de sa masse toutes les 6 heures. On en dispose de 64 g au départ.
Au bout de combien d'heures la masse devient-elle strictement inférieure à 1 g ?
Voir le corrigéoffert
a) Perdre la moitié, c'est multiplier par $0{,}5$ : $q = 0{,}5$ , avec un rang toutes les 6 heures.
b) 24 heures correspondent à 4 rangs : $64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4$ . Il reste 4 g.
c) On continue : 2 g à 30 h, 1 g à 36 h (pas encore strictement inférieur), puis $0{,}5$ g à 42 h.
La masse devient strictement inférieure à 1 g au bout de 42 heures.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un musée a reçu $40\,000$ visiteurs en 2021, $43\,200$ en 2022 et $46\,656$ en 2023.
a) Montre que ces trois nombres sont les premiers termes d'une suite géométrique.
b) Traduis sa raison en évolution annuelle, en pourcentage.
c) Si cette évolution se poursuit, combien de visiteurs le musée recevra-t-il en 2025 ? Arrondis à l'unité.
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4
Deux entrepôts contiennent chacun $5\,000$ pièces. L'entrepôt A en expédie 400 par semaine ; l'entrepôt B expédie chaque semaine $10\,\%$ de son stock restant.
a) Donne la nature et la raison de chacune des deux suites de stocks.
b) Calcule le stock de chaque entrepôt au bout de 3 semaines.
c) À partir de quelle semaine le stock de l'entrepôt A devient-il inférieur à celui de l'entrepôt B ?
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5
Sami place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an et ajoute 500 € à la fin de chaque année. On note $S_{n}$ son épargne au bout de n années, avec $S_{n+1} = 1{,}03 \times S_{n} + 500$ .
Au bout de combien d'années l'épargne dépasse-t-elle $4\,000$ € ?
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6
Soit u une suite arithmétique de raison r. On définit la suite v par $v_{n} = u_{n} + u_{n+1}$ .
Montre, dans le cas général, que v est une suite arithmétique et donne sa raison en fonction de r.
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7
Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ont pour somme 42, et le premier des trois vaut 10.
Détermine r, puis les trois termes.
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8
Une suite géométrique v, à termes positifs, vérifie $v_{0} = 200$ et $v_{2} = 288$ .
Calcule $v_{1}$ et $v_{3}$ , puis dis si la suite est croissante.
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9
Une entreprise A produit 500 pièces le premier mois, puis 60 de plus chaque mois. Une entreprise B produit 300 pièces le premier mois, puis augmente sa production de $20\,\%$ chaque mois.
Dresse le tableau des productions des rangs 0 à 6, puis dis à partir de quel rang B dépasse A.
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10
Soit c un nombre fixé, et u une suite vérifiant $u_{n+1} = u_{n} + c$ pour tout n.
Soit k un nombre fixé non nul, et v une suite vérifiant $v_{n+1} = k\,v_{n}$ , à termes non nuls. Montre que v est géométrique et donne sa raison.
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