Logique et raisonnement
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On considère la proposition (P) : « Si un entier n se termine par 0, alors n est divisible par 5. » a) Cette proposition est-elle vraie ?
b) Écris sa réciproque et dis si elle est vraie (avec un contre-exemple si besoin).
c) Écris sa contraposée.✅ Voir le corrigéoffert
a) Un entier qui se termine par 0 est un multiple de 10. Or tout multiple de 10 est aussi multiple de 5 (car 10 = 5 × 2).
Donc la proposition (P) est vraie.
b) La réciproque échange hypothèse et conclusion : « Si n est divisible par 5, alors n se termine par 0. »
Contre-exemple : 15 est divisible par 5 (15 = 5 × 3), mais 15 se termine par 5, pas par 0.
Donc la réciproque est fausse.
c) La contraposée nie la conclusion et l'hypothèse en inversant : « Si n n'est pas divisible par 5, alors n ne se termine pas par 0. »
(Une proposition et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité : comme (P) est vraie, sa contraposée est vraie aussi.) - 2
Soit x un nombre réel. On considère P : « x² = 9 » et Q : « x = 3 ».
a) L'implication Q ⟹ P est-elle vraie ?
b) L'implication P ⟹ Q est-elle vraie ?
c) A-t-on l'équivalence P ⟺ Q ? Sinon, propose une proposition Q' telle que P ⟺ Q' soit vraie.✅ Voir le corrigéoffert
a) Q ⟹ P : si x = 3, alors x² = 3² = 9. C'est vrai.
b) P ⟹ Q : si x² = 9, alors x = 3 ? Contre-exemple : x = −3 vérifie (−3)² = 9, mais x = −3 n'est pas égal à 3.
Donc P ⟹ Q est fausse.
c) Pour avoir une équivalence, il faut que les deux implications soient vraies. Ici P ⟹ Q est fausse, donc P et Q ne sont PAS équivalentes.
Pour corriger, on prend Q' : « x = 3 ou x = −3 » (ce qui revient à |x| = 3).
Alors x² = 9 équivaut exactement à (x = 3 ou x = −3). Donc P ⟺ Q' est vraie. - 3
On admet que √2 est un nombre irrationnel.
Démontre par l'absurde que 3 + √2 est irrationnel.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Soit n un entier. On veut démontrer : « Si n² est impair, alors n est impair. »
a) Explique pourquoi une démonstration directe est peu commode.
b) Écris la contraposée de cette implication.
c) Démontre la contraposée, puis conclus.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Démontre par disjonction de cas que, pour tout nombre réel x, on a |x| ≥ x.
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On considère la proposition (P) : « Pour tout réel x, x² + 4x + 5 > 0 ».
a) Écris la négation de (P).
b) Vérifie que x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 pour tout réel x.
c) Démontre que (P) est vraie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie (avec une démonstration) ou fausse (avec un contre-exemple). Ici x désigne un réel et n un entier.
a) « Si x > 3, alors x² > 9. »
b) « Si x² > 9, alors x > 3. »
c) « Si n est divisible par 3 et par 4, alors n est divisible par 12. »
d) « Si n est divisible par 4 et par 6, alors n est divisible par 24. »🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Soit a et b deux nombres réels tels que a + b > 10.
Démontre par l'absurde que a > 5 ou b > 5.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On considère les deux propositions :
(P) « Pour tout réel x, il existe un réel y tel que y > x. »
(Q) « Il existe un réel y tel que, pour tout réel x, y > x. »
a) Ces deux propositions disent-elles la même chose ?
b) Laquelle est vraie ? Justifie.
c) Écris la négation de (Q).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un élève résout l'équation x² = 5x de la façon suivante :
« x² = 5x, donc en divisant les deux membres par x, on obtient x = 5. L'équation a une seule solution : 5. »
a) Vérifie que 0 est solution de l'équation.
b) Où est l'erreur de raisonnement ?
c) Résous correctement l'équation en écrivant des équivalences.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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