Logique et raisonnement

On admet que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
Démontre par l'absurde que $3 + \sqrt{2}$ est irrationnel.

Démontre par disjonction de cas que, pour tout nombre réel x, on a $|x| \ge x$.

On considère la proposition (P) : « Si un entier n se termine par 0, alors n est divisible par 5. » a) Cette proposition est-elle vraie ?
Écris sa contraposée.

Soit x un nombre réel. On considère P : « $x^{2} = 9$ » et Q : « $x = 3$ ».
A-t-on l'équivalence P ⟺ Q ? Sinon, propose une proposition Q' telle que P ⟺ Q' soit vraie.

On considère les deux propositions :
(P) « Pour tout réel x, il existe un réel y tel que $y > x$. »
(Q) « Il existe un réel y tel que, pour tout réel x, $y > x$. »
Écris la négation de (Q).

Soit a et b deux nombres réels tels que $a + b > 10$.
Démontre par l'absurde que $a > 5$ ou $b > 5$.

Soit n un entier. On veut démontrer : « Si $n^{2}$ est impair, alors n est impair. »
Démontre la contraposée, et explique pourquoi cela suffit.

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie (avec une démonstration) ou fausse (avec un contre-exemple). Ici x désigne un réel et n un entier.
a) « Si $x > 3$, alors $x^{2} > 9$. »
b) « Si $x^{2} > 9$, alors $x > 3$. »
c) « Si n est divisible par 3 et par 4, alors n est divisible par 12. »
d) « Si n est divisible par 4 et par 6, alors n est divisible par 24. »

Un élève résout l'équation $x^{2} = 5x$ de la façon suivante :
« $x^{2} = 5x$, donc en divisant les deux membres par x, on obtient $x = 5$. L'équation a une seule solution : 5. »
Résous correctement l'équation en écrivant des équivalences.

On considère la proposition (P) : « Pour tout réel x, $x^{2} + 4x + 5 > 0$ ».
Démontre que (P) est vraie.