Logique et raisonnement
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On considère l'implication : « Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. » a) Écris la réciproque.
b) La réciproque est-elle vraie ? Justifie.✅ Voir le corrigéoffert
a) La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion.
Réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est un multiple de 4. »
b) On cherche un contre-exemple. Le nombre 6 est pair, mais 6 n'est pas un multiple de 4 (car 6 = 4 × 1,5).
Donc la réciproque est fausse.
(Remarque : l'implication de départ, elle, est vraie, car tout multiple de 4 s'écrit 4 × k = 2 × (2k), donc pair.) - 2
Écris la négation de chaque proposition, puis dis laquelle des deux — la proposition ou sa négation — est vraie.
a) « Pour tout réel x, x² + 1 > 0 »
b) « Il existe un entier n tel que n² = 10 »✅ Voir le corrigéoffert
Règles de négation : la négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que P(x) est fausse » ; la négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, P(x) est fausse ».
a) Négation : « Il existe un réel x tel que x² + 1 ≤ 0 ».
Qui est vraie ? Pour tout réel x on a x² ≥ 0, donc en ajoutant 1 : x² + 1 ≥ 1.
Or 1 > 0, donc x² + 1 > 0 pour tout x.
La proposition de départ est vraie, sa négation est fausse.
b) Négation : « Pour tout entier n, n² ≠ 10 ».
Qui est vraie ? On regarde les carrés d'entiers autour de 10 : 3² = 9 et 4² = 16. Il n'y a aucun entier entre 3 et 4.
Aucun carré d'entier ne vaut donc 10.
La proposition de départ est fausse, et c'est sa négation qui est vraie. - 3
On considère l'affirmation : « Si x² > 4, alors x > 2. »
a) Montre qu'elle est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
b) L'implication réciproque est-elle vraie ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Soit n un entier.
a) Écris la contraposée de l'implication : « Si n est pair, alors n² est pair. »
b) Sachant que l'implication de départ est vraie, que peut-on dire de sa contraposée ?
c) Quelle est la différence avec la réciproque ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Complète par « il faut » ou « il suffit », puis justifie.
a) Pour qu'une fonction soit affine, … qu'elle soit linéaire.
b) Pour qu'une fonction soit linéaire, … qu'elle soit affine.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Soit x un nombre réel. Démontre l'équivalence « 3x − 6 = 0 ⟺ x = 2 » en traitant les deux sens séparément.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Soit A, B, C, D quatre points d'un repère tels que A ≠ B, C ≠ D, et tels que les droites (AB) et (CD) ne soient pas confondues.
On considère : « Si les vecteurs et sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles. »
a) Écris la réciproque.
b) L'implication et sa réciproque sont-elles vraies ? Que peut-on en conclure ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On veut montrer que, pour tout entier n, le produit n(n + 1) est pair.
a) Traite le cas où n est pair.
b) Traite le cas où n est impair.
c) Conclus.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Après un contrôle, le professeur affirme : « Tous les élèves ont eu une note supérieure ou égale à 10. »
a) Écris la négation de cette affirmation.
b) Un élève répond : « C'est faux, aucun élève n'a eu 10 ou plus. » A-t-il correctement nié l'affirmation ?
c) Dans la classe, une seule note est en dessous de 10. L'affirmation du professeur est-elle vraie ou fausse ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On considère l'implication : « Si x ∈ [2 ; 5], alors x ∈ [0 ; 6]. »
a) Cette implication est-elle vraie ?
b) Écris la réciproque et dis si elle est vraie.
c) Traduis la réponse du a) avec le symbole ⊂.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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