Logique et raisonnement

🟡 Moyen

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1
On considère l'implication : « Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. » a) Écris la réciproque.
b) La réciproque est-elle vraie ? Justifie.
Voir le corrigéoffert
a) La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion.
Réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est un multiple de 4. »
b) On cherche un contre-exemple. Le nombre 6 est pair, mais 6 n'est pas un multiple de 4 (car $6 = 4 \times 1{,}5$ ).
Donc la réciproque est fausse.
(Remarque : l'implication de départ, elle, est vraie, car tout multiple de 4 s'écrit $4 \times k = 2 \times (2k)$ , donc pair.)
2
Complète par « il faut » ou « il suffit », puis justifie.
a) Pour qu'une fonction soit affine, … qu'elle soit linéaire.
b) Pour qu'une fonction soit linéaire, … qu'elle soit affine.
Voir le corrigéoffert
Rappel : une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ ; une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ .
Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, celle où $b = 0$ . On a l'implication vraie : « linéaire ⟹ affine ».
a) Être linéaire entraîne être affine : c'est une condition suffisante.
Pour qu'une fonction soit affine, IL SUFFIT qu'elle soit linéaire.
b) La réciproque est fausse : la fonction $f(x) = 2x + 3$ est affine mais n'est pas linéaire, car $f(0) = 3$ alors qu'une fonction linéaire vérifie toujours $f(0) = 0$ .
Être affine n'est donc pas suffisant pour être linéaire. En revanche c'est obligatoire, puisque toute fonction linéaire est affine.
Pour qu'une fonction soit linéaire, IL FAUT qu'elle soit affine.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit A, B, C, D quatre points d'un repère tels que $A \ne B$ , $C \ne D$ , et tels que les droites (AB) et (CD) ne soient pas confondues.
On considère : « Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles. »
a) Écris la réciproque.
b) L'implication et sa réciproque sont-elles vraies ? Que peut-on en conclure ?
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4
Soit x un nombre réel. Démontre l'équivalence « $3x - 6 = 0$ ⟺ $x = 2$ » en traitant les deux sens séparément.
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5
Soit n un entier.
a) Écris la contraposée de l'implication : « Si n est pair, alors $n^{2}$ est pair. »
b) Sachant que l'implication de départ est vraie, que peut-on dire de sa contraposée ?
c) Quelle est la différence avec la réciproque ?
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6
Après un contrôle, le professeur affirme : « Tous les élèves ont eu une note supérieure ou égale à 10. »
a) Écris la négation de cette affirmation.
b) Un élève répond : « C'est faux, aucun élève n'a eu 10 ou plus. » A-t-il correctement nié l'affirmation ?
c) Dans la classe, une seule note est en dessous de 10. L'affirmation du professeur est-elle vraie ou fausse ?
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7
On considère l'affirmation : « Si $x^{2} > 4$ , alors $x > 2$ . »
a) Montre qu'elle est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
b) L'implication réciproque est-elle vraie ?
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8
On veut montrer que, pour tout entier n, le produit $n(n + 1)$ est pair.
a) Traite le cas où n est pair.
b) Traite le cas où n est impair.
c) Conclus.
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9
Écris la négation de chaque proposition, puis dis laquelle des deux, la proposition ou sa négation, est vraie.
a) « Pour tout réel x, $x^{2} + 1 > 0$ »
b) « Il existe un entier n tel que $n^{2} = 10$ »
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10
On considère l'implication : « Si $x \in [2 \,;\, 5]$ , alors $x \in [0 \,;\, 6]$ . »
a) Cette implication est-elle vraie ?
b) Écris la réciproque et dis si elle est vraie.
c) Traduis la réponse du a) avec le symbole ⊂.
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