Probabilités : deux épreuves

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1
On lance une pièce équilibrée trois fois de suite.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un « pile » ?
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À chaque lancer, deux issues équiprobables (P ou F), chacune de probabilité $\frac{1}{2}$ .
a) Pour 3 lancers, le nombre d'issues est $2 \times 2 \times 2 = 8$ . Ce sont : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Elles sont équiprobables, chacune de probabilité $\frac{1}{8}$ .
b) « Trois piles » = un seul chemin (PPP) :
$P(\text{PPP}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0{,}125$ .
c) « Exactement deux piles » = les issues avec deux P et un F : PPF, PFP, FPP. Cela fait 3 issues favorables.
$P(\text{exactement deux piles}) = \frac{3}{8} = 0{,}375$ .
d) « Au moins un pile » est le contraire de « aucun pile » (c'est-à-dire FFF).
$P(\text{FFF}) = \frac{1}{8}$ , donc $P(\text{au moins un pile}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875$ .
2
À un QCM, il y a 4 questions. Chaque question propose 3 réponses au choix, dont une seule est correcte. Un élève répond complètement au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu'il donne la bonne réponse à une question donnée ?
b) Quelle est la probabilité qu'il ait les 4 bonnes réponses ?
c) Quelle est la probabilité qu'il n'ait aucune bonne réponse ?
d) En déduire la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse.
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Chaque question a 3 réponses équiprobables, dont 1 correcte et 2 fausses. Les questions sont indépendantes, donc on multiplie le long d'un chemin.
a) $P(\text{bonne réponse à une question}) = \frac{1}{3}$ . Et donc $P(\text{mauvaise réponse}) = \frac{2}{3}$ .
b) Les 4 bonnes réponses correspondent à un seul chemin « bonne ET bonne ET bonne ET bonne » :
$P(\text{4 bonnes}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012$ .
c) Aucune bonne réponse = « mauvaise » aux 4 questions :
$P(\text{aucune bonne}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81} \approx 0{,}198$ .
d) « Au moins une bonne » est le contraire de « aucune bonne » :
$P(\text{au moins une bonne}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81} \approx 0{,}802$ .
Morale : répondre au hasard donne quand même souvent au moins un bon résultat, mais rarement le sans-faute.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules vertes, identiques au toucher. On tire successivement deux boules SANS remise (on ne remet pas la première boule tirée).
Vérifie que la somme des trois résultats vaut 1.
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4
Un sac contient 5 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons verts (identiques au toucher). On tire un jeton, on note sa couleur, on le remet, puis on tire un second jeton.
Calculer la probabilité que les deux jetons soient de couleurs différentes.
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5
Une boîte contient 10 stylos : 7 qui fonctionnent et 3 qui sont vides. On prend deux stylos au hasard, l'un après l'autre, SANS les remettre.
Calcule la probabilité qu'au moins un stylo soit vide lorsqu'on en prend TROIS, toujours sans remise.
Je suis les branches !
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6
Dans un collège, on interroge 120 élèves sur leur goût pour les mathématiques. Les résultats sont : 30 garçons aiment les maths et 20 garçons ne les aiment pas ; 45 filles aiment les maths et 25 filles ne les aiment pas. On choisit un élève au hasard.
Quelle est la probabilité d'interroger un garçon OU un élève qui n'aime pas les maths ?
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7
On dispose de deux sacs. Le sac A contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. Le sac B contient 4 boules rouges et 1 boule bleue. On choisit un sac au hasard (une chance sur deux pour chacun), puis on tire une boule dans le sac choisi.
a) Construis (décris) l'arbre de cette expérience à deux épreuves.
b) Quelle est la probabilité de choisir le sac A et de tirer une boule rouge ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
d) En déduire la probabilité de tirer une boule bleue.
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8
Une loterie vend 200 billets. Il y a 1 gros lot, 9 lots moyens et 40 petits lots ; les autres billets sont perdants. Un billet est tiré au hasard.
Un joueur achète 2 billets différents. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins un lot ?
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9
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus. On admet qu'il y a 36 issues équiprobables.
Calcule la probabilité que la somme soit strictement inférieure à 10.
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10
Un sac contient 5 boules blanches et n boules noires (n est un entier positif). On tire deux boules successivement SANS remise. On veut que la probabilité d'obtenir deux boules blanches soit égale à $\frac{2}{9}$ .
Détermine la valeur de n.
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