Décomposition en facteurs premiers

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1
On pose $N = 2 \times 3^{2} \times 5$ .
Calcule la somme de tous les diviseurs de N.
Voir le corrigéoffert
a) $N = 2 \times 3^{2} \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90$ .
b) Exposants : 1 (pour 2), 2 (pour 3), 1 (pour 5).
Nombre de diviseurs $= (1+1) \times (2+1) \times (1+1) = 2 \times 3 \times 2 = 12$ .
Liste : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
c) $\text{Somme} = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 15 + 18 + 30 + 45 + 90$ .
On additionne pas à pas, en repartant à chaque fois du total : $1+2 = 3$ ; $3+3 = 6$ ; $6+5 = 11$ ; $11+6 = 17$ ; $17+9 = 26$ ; $26+10 = 36$ ; $36+15 = 51$ ; $51+18 = 69$ ; $69+30 = 99$ ; $99+45 = 144$ ; $144+90 = 234$ .
La somme des diviseurs de 90 est 234.
2
On étudie les nombres 231 et 165.
Utilise ce nombre pour écrire $\frac{231}{165}$ sous forme irréductible.
Voir le corrigéoffert
a) $231 = 3 \times 77 = 3 \times 7 \times 11$ .
$165 = 5 \times 33 = 3 \times 5 \times 11$ .
b) On garde les facteurs communs aux deux décompositions : 3 et 11.
Le plus grand nombre qui divise les deux est donc $3 \times 11 = 33$ .
(231 ÷ 33 = 7 et $165 \div 33 = 5$ , c'est bien juste.)
c) On simplifie par 33 : $\frac{231}{165} = \frac{7}{5}$ .
Vérifions : 7 et 5 sont premiers, la fraction $\frac{7}{5}$ est irréductible.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On étudie le nombre 1 001.
1 001 est-il divisible par 77 ? par 39 ? Justifie.
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4
On étudie le nombre 1 386.
1 386 est-il divisible par 21 ? par 45 ? Justifie à l'aide de la décomposition.
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5
Un rectangle a une aire de $240\,\text{cm}^{2}$ et ses deux côtés mesurent un nombre entier de centimètres.
Parmi eux, quelles dimensions donnent le rectangle le plus proche d'un carré ?
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6
On étudie le nombre 2 310.
2 310 est-il divisible par 15 ? par 14 ? par 12 ? Justifie.
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7
Un nombre entier se décompose ainsi : $N = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 7$ .
Quel est le plus petit entier par lequel il faut multiplier N pour obtenir un carré parfait ?
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8
On pose $N = 2^{3} \times 5 \times 7^{2}$ .
Quel est le plus petit entier par lequel il faut diviser N pour obtenir un carré parfait ?
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9
a) Décompose 2 520 en produit de facteurs premiers.
b) Décompose 2 940.
c) Déduis-en la forme irréductible de la fraction $\frac{2520}{2940}$ .
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10
Un fleuriste dispose de 168 roses et 252 tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques, en utilisant absolument toutes les fleurs.
Que contient alors chaque bouquet ?
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