Décomposition en facteurs premiers
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On étudie le nombre 1 386.
a) Décompose 1 386 en produit de facteurs premiers.
b) Combien 1 386 possède-t-il de diviseurs ?
c) 1 386 est-il divisible par 21 ? par 45 ? Justifie à l'aide de la décomposition.✅ Voir le corrigéoffert
a) 1 386 = 2 × 693 ; 693 = 3 × 231 ; 231 = 3 × 77 ; 77 = 7 × 11.
Donc 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11.
Vérification : 2 × 9 × 7 × 11 = 18 × 77 = 1 386. ✓
b) Les exposants sont 1 (pour 2), 2 (pour 3), 1 (pour 7), 1 (pour 11).
Nombre de diviseurs = (1+1) × (2+1) × (1+1) × (1+1) = 2 × 3 × 2 × 2 = 24 diviseurs.
c) 21 = 3 × 7 : la décomposition contient un 3 et un 7, donc 1 386 est divisible par 21 (1 386 ÷ 21 = 66).
45 = 3² × 5 : la décomposition contient bien 3², mais aucun facteur 5. Il manque le 5, donc 1 386 n'est pas divisible par 45. - 2
a) Décompose 2 520 en produit de facteurs premiers.
b) Décompose 2 940.
c) Déduis-en la forme irréductible de la fraction .✅ Voir le corrigéoffert
a) 2 520 = 2 × 1 260 = 2 × 2 × 630 = 2 × 2 × 2 × 315 ; 315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 ; 35 = 5 × 7.
Donc 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
Vérification : 8 × 9 × 5 × 7 = 72 × 35 = 2 520. ✓
b) 2 940 = 2 × 1 470 = 2 × 2 × 735 ; 735 = 3 × 245 ; 245 = 5 × 49 = 5 × 7².
Donc 2 940 = 2² × 3 × 5 × 7².
Vérification : 4 × 3 × 5 × 49 = 60 × 49 = 2 940. ✓
c) Facteurs communs (plus petit exposant de chaque) : 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 105 = 420.
On simplifie par 420 : 2 520 ÷ 420 = 6 et 2 940 ÷ 420 = 7.
Donc = .
Vérification : 6 = 2 × 3 et 7 est premier, aucun facteur commun : la fraction est irréductible. ✓ - 3
On étudie les nombres 231 et 165.
a) Décompose chacun en produit de facteurs premiers.
b) Trouve le plus grand nombre entier qui divise à la fois 231 et 165.
c) Utilise ce nombre pour écrire sous forme irréductible.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On pose N = 2 × 3² × 5.
a) Calcule N.
b) Combien N possède-t-il de diviseurs ? Dresse la liste.
c) Calcule la somme de tous les diviseurs de N.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Un nombre entier se décompose ainsi : N = 2² × 3 × 5² × 7.
a) Calcule N.
b) N est-il divisible par 60 ? par 350 ? par 90 ? Justifie avec les décompositions.
c) Quel est le plus petit entier par lequel il faut multiplier N pour obtenir un carré parfait ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On pose N = 2³ × 5 × 7².
a) Calcule N.
b) Quel est le plus petit entier par lequel il faut multiplier N pour obtenir un carré parfait ? Donne la racine de ce carré.
c) Quel est le plus petit entier par lequel il faut diviser N pour obtenir un carré parfait ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On étudie le nombre 1 001.
a) Décompose 1 001 en produit de facteurs premiers.
b) Écris 1 001 comme un produit de trois nombres premiers.
c) 1 001 est-il divisible par 77 ? par 39 ? Justifie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On étudie le nombre 2 310.
a) Décompose 2 310 en produit de facteurs premiers. Que remarques-tu ?
b) Combien 2 310 possède-t-il de diviseurs ?
c) 2 310 est-il divisible par 15 ? par 14 ? par 12 ? Justifie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Un rectangle a une aire de 240 cm² et ses deux côtés mesurent un nombre entier de centimètres.
a) Décompose 240 en produit de facteurs premiers.
b) Combien de couples (longueur ; largeur) sont possibles, avec longueur ≥ largeur ?
c) Parmi eux, quelles dimensions donnent le rectangle le plus proche d'un carré ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un fleuriste dispose de 168 roses et 252 tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques, en utilisant absolument toutes les fleurs.
a) Décompose 168 et 252 en produits de facteurs premiers.
b) Quel est le plus grand nombre de bouquets qu'il peut réaliser ?
c) Que contient alors chaque bouquet ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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