Le second degré

🟠 Difficile

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1
Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $x^2 + mx + 9 = 0$ admet une racine double.
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Une racine double correspond à $\Delta = 0$ , soit $m^2 - 36 = 0$ .
Donc $m^2 = 36$ , ce qui donne $m = 6$ ou $m = -6$ .
Pour $m = 6$ la racine double est $-3$ , et pour $m = -6$ elle vaut $3$ .
2
Résous l'équation $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .
Voir le corrigéoffert
On pose $X = x^2$ , ce qui donne $X^2 - 13X + 36 = 0$ avec $\Delta = 169 - 144 = 25$ .
Les solutions en $X$ sont $\frac{13 - 5}{2} = 4$ et $\frac{13 + 5}{2} = 9$ ; toutes deux sont positives, donc exploitables.
On revient à $x$ : $x^2 = 4$ donne $\pm 2$ , et $x^2 = 9$ donne $\pm 3$ . Il y a quatre solutions : $-3$ , $-2$ , $2$ et $3$ .
3
Résous l'inéquation $-2x^2 + 5x - 2 > 0$ .
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4
Une parabole a pour sommet le point de coordonnées $(2\,;\,-3)$ et passe par le point de coordonnées $(0\,;\,1)$ . Détermine son équation sous forme développée.
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5
Détermine deux nombres dont la somme vaut $15$ et le produit $56$ .
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6
Un terrain rectangulaire a une aire de $96$ m² et un périmètre de $40$ m. Détermine ses dimensions.
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7
Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles le trinôme $x^2 + 2x + m$ est strictement positif pour tout réel $x$ .
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8
Résous l'équation $\dfrac{x + 3}{x - 1} = x$ , en précisant la valeur interdite.
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9
Compare les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = x^2 - 4x + 7$ , en utilisant la forme canonique de $g$ .
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10
Explique pourquoi un trinôme du second degré ne peut pas avoir trois racines.
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Équation du second degré, c'est quoi ?Discriminant, c'est quoi ?Parabole, c'est quoi ?Sommet (d'une parabole), c'est quoi ?