Le second degré

Démontre la formule des racines en partant de la forme canonique de $ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 0$.

Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $x^2 - 6x + 4$. Calcule $x_1^2 + x_2^2$ puis $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, sans déterminer les racines.

Détermine les valeurs du réel $m$ pour lesquelles l'équation $(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$ admet exactement une solution réelle.

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a > 0$ et $\Delta > 0$, de racines $x_1 < x_2$. Démontre que le minimum de $f$ est atteint au milieu des racines, et exprime-le en fonction de $a$ et de $\Delta$.

Un trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ vérifie $P(0) = 3$, $P(1) = 2$ et $P(2) = 5$. Détermine $a$, $b$ et $c$, puis étudie le signe de $P$.

Deux réels ont pour somme $5$ et pour produit $3$. Calcule la somme de leurs cubes, sans chercher ces deux réels.

Résous l'inéquation $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \leqslant 0$, en dressant un tableau de signes.

Détermine les valeurs du réel $m$ pour lesquelles l'équation $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ admet deux racines de signes contraires.

Soit $ax^2 + bx + c$ un trinôme de discriminant positif, de racines $x_1$ et $x_2$. Démontre que $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 0$, tel que $P(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$. Démontre que $a > 0$ et que $\Delta \leqslant 0$.