Bac de maths 2022 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Énoncé

Chaque jour de travail, Paul rejoint la gare à vélo 2 fois sur 3 ; sinon il prend sa voiture. À vélo, il ne rate le train qu'une fois sur 50 ; en voiture, il le rate une fois sur 10. On note V l'événement « Paul prend son vélo » et R l'événement « Paul rate son train ».

1. a. Arbre pondéré

Paul prend le vélo 2 fois sur 3 : $P(V) = \frac{2}{3}$, donc la voiture avec $P(\overline{V}) = \frac{1}{3}$. Sur la branche « vélo », il rate le train avec $p_V(R) = \frac{1}{50}$, donc il ne le rate pas avec $\frac{49}{50}$. Sur la branche « voiture », $p_{\overline{V}}(R) = \frac{1}{10}$, donc $\frac{9}{10}$ de ne pas le rater. Sur chaque nœud, les deux branches issues d'un même point ont pour somme 1.

1. b. Montrer que $P(R) = \frac{7}{150}$

Les événements V et V̄ forment une partition. Par la formule des probabilités totales :
$P(R) = P(V) \times p_V(R) + P(\overline{V}) \times p_{\overline{V}}(R) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{50} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{150} + \frac{1}{30}$.
On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{30} = \frac{5}{150}$, donc $P(R) = \frac{2}{150} + \frac{5}{150} = \frac{7}{150}$.

1. c. Il a raté son train : probabilité qu'il ait pris son vélo

On cherche $p_R(V)$. Par définition de la probabilité conditionnelle (formule de Bayes) :
$p_R(V) = \frac{P(R \cap V)}{P(R)}$. Or $P(R \cap V) = P(V) \times p_V(R) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{50} = \frac{2}{150}$, et $P(R) = \frac{7}{150}$.
Donc $p_R(V) = \frac{2}{150} \div \frac{7}{150} = \frac{2}{7}$. La valeur exacte cherchée est $\frac{2}{7} (\approx 0{,}286)$.

2. a. Loi suivie par X

On répète 20 fois, de façon identique et indépendante, une même expérience à deux issues : « prendre le vélo » (succès, probabilité $p = \frac{2}{3}$) ou non. C'est un schéma de Bernoulli. X compte les succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = \frac{2}{3}$ : X ~ $B(20 \,;\, \frac{2}{3})$.

2. d. Nombre moyen de jours à vélo

Pour une loi binomiale, l'espérance est $E(X) = n \times p = 20 \times \frac{2}{3} = \frac{40}{3} \approx 13{,}33$. En moyenne, sur une période de 20 jours, Paul prend son vélo environ 13 jours.

Kala t'explique :Tu vois « au moins 10 jours » ? Ne calcule surtout pas $P(10) + P(11) + \dots + P(20)$, c'est 11 calculs ! Prends le tout (1) et retire juste ce que tu ne veux pas : $1 - P(X \le 9)$. Un seul calcul, zéro fatigue. Le contraire, c'est ton meilleur ami en probas.

3. Espérance de T et interprétation

La loi de T (temps de trajet en voiture, en minutes) est donnée par le tableau. Vérification : la somme des probabilités vaut bien 1.
$E(T) = 10\times 0{,}14 + 11\times 0{,}13 + 12\times 0{,}13 + 13\times 0{,}12 + 14\times 0{,}12 + 15\times 0{,}11 + 16\times 0{,}10 + 17\times 0{,}08 + 18\times 0{,}07$
$= 1{,}4 + 1{,}43 + 1{,}56 + 1{,}56 + 1{,}68 + 1{,}65 + 1{,}6 + 1{,}36 + 1{,}26 = 13{,}5$.
Interprétation : lorsqu'il prend la voiture, Paul met en moyenne 13,5 minutes (soit 13 min 30 s) pour rejoindre la gare.