Bac de maths 2023 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Partie A. La courbe fournie est celle de la DÉRIVÉE f′

Attention au piège : la courbe tracée représente f′ (la fonction dérivée), et non f. On raisonne donc sur le SIGNE de f′ pour connaître les variations de f, et sur les VARIATIONS de f′ pour la convexité de f. Toutes les réponses de la partie A se lisent sur le graphique, sans justification.

A.1. Sens de variation de f sur ℝ

On lit le signe de f′ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses $(f' > 0)$ sur $]-\infty \,;\, 0{,}4[$, en dessous $(f' < 0)$ sur $]0{,}4 \,;\, 2{,}6[$, puis de nouveau au-dessus $(f' > 0)$ sur $]2{,}6 \,;\, +\infty [$.
Conclusion : f est strictement croissante sur $]-\infty \,;\, 0{,}4[$, strictement décroissante sur $]0{,}4 \,;\, 2{,}6[$, puis strictement croissante sur $]2{,}6 \,;\, +\infty [$.

A.2. Intervalles où f semble convexe

f est convexe là où sa dérivée f′ est croissante. Graphiquement, la courbe de f′ monte sur $]-\infty \,;\, -1[$ et sur $]2 \,;\, +\infty [$.
Conclusion : f semble convexe sur $]-\infty \,;\, -1[$ et sur $]2 \,;\, +\infty [$.

Kala t'explique :Le piège numéro 1 de cet exercice : la courbe qu'on te donne, c'est celle de f′, pas de f ! Retiens l'astuce : f MONTE quand f′ est POSITIVE (au-dessus de l'axe), et f est CONVEXE (elle « sourit ») quand f′ MONTE.

B.1.a. Limite de f en $+\infty [f(x) = (x^{2}-5x+6)e^x]$

$\lim\limits_{x\to +\infty} (x^{2}-5x+6) = \lim\limits_{x\to +\infty} x^{2} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x = +\infty$.
Par produit de deux limites qui tendent vers $+\infty$ :
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

B.1.b. Limite de f en $-\infty$

Pour $x \ne 0$, on factorise par $x^{2}$ : $f(x) = x^{2}e^x \times (1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})$.
Par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to -\infty} x^{2}e^x = 0$, et $(1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}) \to 1$.
Par produit : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = 0$.
La droite d'équation $y = 0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.

B.2. Montrer que $f'(x) = (x^{2}-3x+1)e^x$

f est un produit $u\times v$ avec $u(x) = x^{2}-5x+6$ (donc $u'(x) = 2x-5$) et $v(x) = e^x$ (donc $v'(x) = e^x$).
$f' = u'v + uv' = (2x-5)e^x + (x^{2}-5x+6)e^x = (2x-5 + x^{2}-5x+6)e^x = (x^{2}-3x+1)e^x$.

B.3. Sens de variation de f

Pour tout x, $e^x > 0$, donc f′(x) a le signe du trinôme $x^{2}-3x+1$.
Discriminant : $\Delta = (-3)^{2} - 4\times 1\times 1 = 5 > 0$. Racines : $x_{1} = \frac{(3-\sqrt{5})}{2} \approx 0{,}38$ et $x_{2} = \frac{(3+\sqrt{5})}{2} \approx 2{,}62$.
Un trinôme du second degré à coefficient dominant positif est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.
Conclusion : f est croissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{(3-\sqrt{5})}{2}$], décroissante sur $[\frac{(3-\sqrt{5})}{2} \,;\, \frac{(3+\sqrt{5})}{2}]$, puis croissante sur [$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ; $+\infty$[.

B.4. Équation réduite de la tangente (T) au point d'abscisse 0

Formule : $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
$f(0) = (0-0+6)e^{0} = 6$ et $f'(0) = (0-0+1)e^{0} = 1$.
Donc (T) : $y = 1\times (x-0) + 6$, soit $y = x + 6$.

B.5.a. Convexité de f [on admet $f''(x) = (x+1)(x-2)e^x$]

Comme $e^x > 0$, f″(x) a le signe du produit $(x+1)(x-2)$. Ce produit s'annule en $-1$ et 2 ; il est positif à l'extérieur de $[-1 \,;\, 2]$ et négatif à l'intérieur.
Conclusion : f est convexe sur $]-\infty \,;\, -1]$, concave sur $[-1 \,;\, 2]$, puis convexe sur $[2 \,;\, +\infty [$. Cela confirme la lecture graphique de la partie A (convexe pour $x < -1$ et $x > 2$).

B.5.b. Montrer que $f(x) \le x + 6$ pour tout x de $[-1 \,;\, 2]$

Sur $[-1 \,;\, 2]$, f est concave : sa courbe est donc située EN DESSOUS de chacune de ses tangentes. Or $0 \in [-1 \,;\, 2]$ : la courbe est en particulier en dessous de la tangente (T) : $y = x + 6$.
Ainsi, pour tout x de $[-1 \,;\, 2]$, $f(x) \le x + 6$.

Kala t'explique :Concave = la courbe fait « le dos rond » et passe SOUS ses tangentes ; convexe = elle « sourit » et passe AU-DESSUS. Ici f est concave sur $[-1 \,;\, 2]$, donc sa courbe reste sous la droite $y = x+6$ : la propriété tombe toute seule, sans le moindre calcul !