Bac de maths 2022 Polynésie : sujet et corrigé

Consigne

QCM : pour chacune des 6 questions, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse fausse, multiple ou absente ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est demandée (les justifications ci-dessous sont là pour comprendre).

1. Dérivée de $g(x) = \ln (x^{2} + x + 1)$ sur $]0 \,;\, +\infty [$

On dérive une fonction composée de la forme ln(u), dont la dérivée est $\frac{u'}{u}$. Ici on pose $u(x) = x^{2} + x + 1$, donc $u'(x) = 2x + 1$. On obtient $g'(x) = \frac{(2x+1)}{(x^{2}+x+1)}$. Réponse d.

Kala t'explique :Le réflexe « ln(quelque chose) » : la dérivée, c'est la dérivée du dedans divisée par le dedans. Tu poses u, tu calcules u′, tu empiles $\frac{u'}{u}$ et c'est plié.

2. Une primitive de x ↦ ln(x) sur $]0 \,;\, +\infty [$

Astuce : au lieu de chercher, on dérive chaque proposition et on regarde laquelle redonne ln(x). Pour $F(x) = x\cdot \ln (x) - x$ : $F'(x) = 1\times \ln (x) + x\times \frac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x)$. C'est bien une primitive de ln. Réponse c.

3. Limite de la suite $a_{n} = (1 - 3^{n})/(1 + 2^{n})$

On compare les termes dominants. En haut, 3ⁿ écrase le 1 ; en bas, 2ⁿ écrase le 1. La suite se comporte donc comme $\frac{-3^{n}}{2^{n}} = -(\frac{3}{2})^{n}$. Comme $\frac{3}{2} > 1$, on a $(\frac{3}{2})^{n} \to +\infty$, donc $a_{n} \to -\infty$. Réponse a.

Kala t'explique :Pense à une course entre 3ⁿ et 2ⁿ : celui qui a la plus grosse base gagne toujours. 3 bat 2, et comme il est précédé d'un signe −, tout part vers $-\infty$.

4. Convexité de f à partir du tableau de variations de f′ sur $[-2 \,;\, 2]$

Règle clé : la convexité de f se lit sur le SENS DE VARIATION de f′. Si f′ croît, f est convexe ; si f′ décroît, f est concave. Le tableau montre que f′ passe de 1 à $-2$ sur $[-2 \,;\, 0]$ : f′ y est décroissante, donc f est concave sur $[-2 \,;\, 0]$. Réponse d.

5. Lecture graphique : que dire de f à partir de la courbe de f′ sur $[-2 \,;\, 4]$ ?

Ici c'est le SIGNE de f′ qui donne les variations de f. Sur la courbe, f′ est positive juste avant $x = 1$ et négative juste après : f′ s'annule en changeant de signe en 1, en passant de + à −. Donc f croît puis décroît : f admet un maximum en 1 sur $[0 \,;\, 2]$. Réponse c.

Kala t'explique :Ne confonds pas les deux lectures ! Le SIGNE de $f' \to f$ monte ou descend. La VARIATION de $f' \to f$ est bombée (convexe) ou creuse (concave). Ici on lit le signe : + puis − autour de 1, donc sommet en 1.

6. Fonction Python seuil() : nombre de mois pour qu'une action de 57 € (+3 %/mois) dépasse 200 €

Il faut répéter « un mois de plus, et la valeur ×1,03 » TANT QUE la valeur n'a pas dépassé 200. C'est une boucle « while v < 200 » qui incrémente le compteur m et met à jour v = v×1.03, puis renvoie m. Réponse a. (La b tourne à l'envers, la c ne compte pas et boucle 200 fois, la d n'a pas de boucle.)