Bac de maths 2023 Métropole jour 1 : sujet et corrigé

Traduction de l'énoncé et arbre pondéré complété

On note les données : $P(G) = 0{,}2$ ; $P(G \cap D) = 0{,}002$ (défectueuse ET sous garantie) ; $P(D) = 0{,}082$.
On en déduit $P(\overline{G}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.
Branche $G \to D$ : $p_G(D) = \frac{0{,}002}{0{,}2} = 0{,}01$, donc $G \to \overline{D}$ porte $1 - 0{,}01 = 0{,}99$.
Pour la branche du bas : $P(\overline{G} \cap D) = P(D) - P(G \cap D) = 0{,}082 - 0{,}002 = 0{,}08$, donc $p_{\overline{G}}(D) = \frac{0{,}08}{0{,}8} = 0{,}1$ et $\overline{G} \to \overline{D}$ porte 0,9.

Kala t'explique :Petit réflexe QCM : une proba conditionnelle $p_G(D)$, c'est 'la part commune divisée par la condition', soit $\frac{0{,}002}{0{,}2}$. Pas besoin de tout l'arbre pour répondre, tu gagnes un temps fou !

1. Probabilité $p_G(D)$

Par définition d'une probabilité conditionnelle : $p_G(D) = \frac{P(G \cap D)}{P(G)} = \frac{0{,}002}{0{,}2} = 0{,}01$.
Réponse : b. 0,01.

2. Probabilité $p(\overline{G} \cap D)$

L'événement D se partage en $(G \cap D)$ et $(\overline{G} \cap D)$. Donc $P(\overline{G} \cap D) = P(D) - P(G \cap D) = 0{,}082 - 0{,}002 = 0{,}08$.
Réponse : b. 0,08.

3. La machine est défectueuse : probabilité qu'elle soit sous garantie

On cherche $p_D(G) = \frac{P(G \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}002}{0{,}082} \approx 0{,}0244$, soit $\approx 0{,}024$ à $10^{-3}$ près.
Réponse : b. 0,024.

4. $n = 50$ : valeur de $p(X > 2)$

X suit la loi binomiale B(50 ; 0,082). On passe par l'événement contraire : $p(X > 2) = 1 - p(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
$P(X=0) = 0{,}918^{50} \approx 0{,}0139$ ; $P(X=1) = 50 \times 0{,}082 \times 0{,}918^{49} \approx 0{,}0620$ ; $P(X=2) = \frac{50 \times 49}{2} \times 0{,}082^{2} \times 0{,}918^{48} \approx 0{,}1356$.
Donc $p(X \le 2) \approx 0{,}2114$ et $p(X > 2) \approx 1 - 0{,}2114 = 0{,}7886 \approx 0{,}789$.
Réponse : b. 0,789.

Kala t'explique :Ne calcule jamais $p(X > 2)$ terme par terme (il y en aurait 48 !). Passe par le complémentaire $1 - p(X \le 2)$ : trois petits calculs et c'est plié.

5. Plus grande valeur de n telle que $P(\text{aucune défectueuse}) > 0{,}4$

'Toutes les machines fonctionnent' = 'aucune défectueuse' $= P(X = 0) = (1 - 0{,}082)^{n} = 0{,}918^{n}$.
On résout $0{,}918^{n} > 0{,}4$. En passant au logarithme (ln est croissante) : $n \times \ln (0{,}918) > \ln (0{,}4)$.
Comme $\ln (0{,}918) < 0$, on divise en changeant le sens : $n < \frac{\ln (0{,}4)}{\ln (0{,}918)} \approx 10{,}7$.
La plus grande valeur entière est $n = 10$ (vérif : $0{,}918^{10} \approx 0{,}425 > 0{,}4$ ; $0{,}918^{11} \approx 0{,}390 < 0{,}4$).
Réponse : c. 10.