Bac de maths 2023 Centres étrangers : sujet et corrigé

Question 1. Limite de la suite $u_{n} = \frac{(1+2^{n})}{(3+5^{n})}$

On divise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant du bas, 5ⁿ : $u_{n} = \frac{( (1/5^{n}) + (2/5)^{n} ) }{ ( (3/5^{n}) + 1 )}$. Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$, on a $(2/5)^{n} \to 0$, et aussi $\frac{1}{5^{n}} \to 0$ et $\frac{3}{5^{n}} \to 0$. Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 1, donc $u_{n} \to 0$. Réponse : c) converge vers 0.

Kala t'explique :Petit réflexe pour une limite de quotient : repère qui « écrase » qui. Ici 5ⁿ grandit beaucoup plus vite que 2ⁿ, donc le bas gagne la course et tout s'écrase vers 0. Le piège b) $\frac{2}{5}$ ne marcherait que si c'était $1+2n$ sur $3+5n$ (des « n » simples, pas des exposants) !

Question 2. Dérivée de $f(x) = x^{2}\ln x$

C'est un produit $u\times v$ avec $u = x^{2} (u' = 2x)$ et $v = \ln x (v' = \frac{1}{x})$. $f'(x) = u'v + uv' = 2x\cdot \ln x + x^{2}\cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2 \ln x + 1)$. Réponse : b) $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

Question 3. Primitive H de $h (H(0)=0)$

Le tableau montre que h est croissante sur ℝ et s'annule en 1 : donc $h < 0$ sur $]-\infty \,;\, 1[$ et $h > 0$ sur $]1 \,;\, +\infty [$. Comme $H' = h$, H est décroissante sur $]-\infty \,;\, 1]$ puis croissante sur $[1 \,;\, +\infty [$ : cela élimine c) et d). Sur $]-\infty \,;\, 0]$, H est décroissante et $H(0) = 0$, donc pour tout $x < 0$ on a $H(x) > H(0) = 0$ : H est positive sur $]-\infty \,;\, 0]$. Réponse : a). (b) est fausse car H prend des valeurs strictement positives bien avant 1.)

Question 4. Fonction Python de dichotomie (valeur approchée de α à 0,001)

f est strictement croissante et s'annule en α. Le milieu m = $\frac{(a+b)}{2}$ doit être recalculé à CHAQUE tour de boucle, et on continue tant que l'amplitude (b−a) ≥ 0,001. Comme f est croissante : si f(m) < 0 alors m < α (la racine est à droite de m) et on remonte la borne gauche a = m ; sinon la racine est à gauche et b = m. On examine alors les propositions : b) et c) calculent m une seule fois, AVANT la boucle, m ne change donc jamais (et c) a en plus une condition d'arrêt inversée, abs(b−a) <= 0.001) ; a) recalcule bien m dans la boucle mais inverse les affectations (b = m lorsque f(m) < 0, ce qui est faux). Seule d) recalcule m à chaque tour, teste abs(b−a) >= 0.001 et affecte a = m lorsque f(m) < 0. Réponse : d).

Kala t'explique :La dichotomie, c'est le jeu du « plus chaud / plus froid » : à chaque étape tu coupes l'intervalle en deux et tu gardes la moitié qui contient la racine. Deux pièges à déjouer : calculer le milieu m une seule fois hors de la boucle (options b et c), ou bien le recalculer mais inverser les bornes a et b (option a).

Question 5. P(exactement 2 boules vertes), 3 tirages avec remise

3 boules vertes sur 10 : à chaque tirage $P(\text{verte}) = \frac{3}{10}$ et $P(\text{bleue}) = \frac{7}{10}$. Les tirages sont avec remise → schéma de Bernoulli, X ~ $B(3 \,;\, \frac{3}{10})$. $P(X = 2) = C(3{,}2)\times (\frac{3}{10})^{2}\times (\frac{7}{10})^{1} = C(3{,}2)\times (\frac{7}{10})\times (\frac{3}{10})^{2}$. Réponse : d).