Bac de maths 2022 Métropole jour 2 : sujet et corrigé

Partie A, 1. Arbre pondéré

On note M « le coyote est malade » et T « le test est positif ». L'énoncé donne $P(M)=0{,}7$. Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas : $P_M(T)=0{,}97$ et $P_M(\overline{T})=0{,}03$. S'il n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas : $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(T)=0{,}05$. On complète l'arbre avec ces probabilités $(P(\overline{M})=0{,}3)$.

Kala t'explique :Sur un arbre, les branches qui partent d'un même point font toujours une somme de 1 : $0{,}97 + 0{,}03 = 1$ et $0{,}95 + 0{,}05 = 1$. Si ça ne fait pas 1, c'est qu'une branche s'est trompée de chemin !

Partie A, 2. $P(M \cap T)$

On suit la branche M puis T : $P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}7 \times 0{,}97 = 0{,}679$.

Partie A, 3. Montrer que $P(T) = 0{,}694$

D'après la formule des probabilités totales, T se réalise soit avec M, soit avec M̄ : $P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}679 + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}679 + 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}679 + 0{,}015 = 0{,}694$.

Partie A, 4. Valeur prédictive positive

La valeur prédictive positive est la probabilité que le coyote soit malade sachant que le test est positif : $P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}679}{0{,}694} \approx 0{,}978$. Autrement dit, quand le test est positif, il y a environ 97,8 % de chances que le coyote soit réellement malade.

Partie A, 5.a Valeur prédictive négative

Par analogie, la valeur prédictive négative est la probabilité que le coyote ne soit PAS malade sachant que le test est négatif : $P_{\overline{T}}(\overline{M})$. On a $P(\overline{T}) = 1 - 0{,}694 = 0{,}306$ et $P(\overline{M} \cap \overline{T}) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}3 \times 0{,}95 = 0{,}285$. Donc $P_{\overline{T}}(\overline{M}) = \frac{0{,}285}{0{,}306} \approx 0{,}931$.

Partie A, 5.b Comparaison et interprétation

$\text{VPP} \approx 0{,}978$ et $\text{VPN} \approx 0{,}931$, donc $\text{VPP} > \text{VPN}$. Le test est un peu plus fiable lorsqu'il est positif (97,8 % de vrais malades) que lorsqu'il est négatif (93,1 % de vrais sains) : un résultat positif « accuse » plus sûrement que le résultat négatif ne « disculpe ».

Partie B, 1.a Loi de X

On répète 5 fois, de façon identique et indépendante (tirage avec remise), la même épreuve à deux issues : « test positif » (succès, de probabilité p = 0,694) ou « test négatif ». X compte le nombre de succès : X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,694, notée B(5 ; 0,694).

Partie B, 1.$b P(X = 1)$

$P(X = 1) = C(5 , 1) \times 0{,}694^{1} \times 0{,}306^{4} = 5 \times 0{,}694 \times 0{,}306^{4} \approx 0{,}03$. Il y a donc environ 3 % de chances qu'un seul des cinq coyotes ait un test positif.

Partie B, 1.c Au moins quatre positifs sur cinq

$P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C(5 , 4) \times 0{,}694^{4} \times 0{,}306 + 0{,}694^{5} \approx 0{,}3549 + 0{,}1610 \approx 0{,}516$. Comme $0{,}516 > 0{,}5$, il y a bien plus d'une chance sur deux : l'affirmation du vétérinaire est vraie.

Partie B, 2. Combien de coyotes capturer ?

Pour n coyotes capturés, le nombre de tests positifs suit B(n ; 0,694). La probabilité qu'aucun ne soit positif est 0,306ⁿ, donc $P(au \text{moins un positif}) = 1 - 0{,}306^{n}$. On veut $1 - 0{,}306^{n} > 0{,}99$, soit $0{,}306^{n} < 0{,}01$. En passant au logarithme (ln(0,306) < 0, le sens change) : $n > \frac{\ln (0{,}01)}{\ln (0{,}306)} \approx 3{,}89$. Le plus petit entier convenant est $n = 4$ : il faut capturer au moins 4 coyotes (vérification : $1 - 0{,}306^{4} \approx 0{,}991 > 0{,}99$).

Kala t'explique :« Au moins un » est le contraire de « aucun ». Plutôt que d'additionner mille cas, calcule la probabilité d'avoir zéro succès (facile : 0,306 puissance n) et fais 1 moins ça. Un seul calcul, et le tour est joué !