Brevet de maths 2021 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Consigne

Pour chacune des six affirmations, on indique si elle est vraie ou fausse EN JUSTIFIANT. Une justification convaincante (un calcul, un contre-exemple, une propriété) suffit.

Affirmation n°1

On considère f définie par $f(x) = 3x - 7$. « L'image de $-1$ par f est 2 ». On remplace x par $-1$ : $f(-1) = 3 \times (-1) - 7 = -3 - 7 = -10$. L'image de $-1$ est donc $-10$, pas 2. Conclusion : AFFIRMATION FAUSSE. (En réalité c'est le nombre 2 qui a pour image $-1$, car $f(2) = 3 \times 2 - 7 = 6 - 7 = -1$.)

Kala t'explique :Petit piège de vocabulaire ! « L'image de $-1$ » veut dire : je glisse $-1 \text{DANS}$ la machine f et je regarde ce qui sort. Ici il sort $-10$. Ne confonds pas avec « antécédent » qui va dans l'autre sens. Le réflexe qui ne trompe jamais : je remplace, je calcule, je compare.

Affirmation n°2

On considère $E = (x - 5)(x + 1)$. « La forme développée et réduite de E est $x^{2} - 4x - 5$ ». On développe avec la double distributivité : $E = x \times x + x \times 1 - 5 \times x - 5 \times 1 = x^{2} + x - 5x - 5$. On réduit les termes en x : $x - 5x = -4x$. Donc $E = x^{2} - 4x - 5$. C'est exactement l'expression proposée. Conclusion : AFFIRMATION VRAIE.

Affirmation n°3

n est un entier positif. « Lorsque $n = 5$, le nombre $2^{n} + 1$ est premier ». On calcule pour $n = 5$ : $2^{5} + 1 = 32 + 1 = 33$. Or $33 = 3 \times 11$ : il admet d'autres diviseurs que 1 et lui-même, il n'est donc PAS premier. Conclusion : AFFIRMATION FAUSSE.

Kala t'explique :Pour tester si un nombre est premier, cherche s'il se partage en parts égales. $33 = 3 \times 11$ : il se casse en morceaux, donc il n'est pas premier. Un nombre premier, lui, est incassable : il ne se laisse diviser que par 1 et par lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13…).

Affirmation n°4

On a lancé 15 fois un dé, avec les fréquences $\frac{3}{15}$ ; $\frac{4}{15}$ ; $\frac{5}{15}$ ; $\frac{2}{15}$ ; $\frac{1}{15}$ pour les faces 1 à 5, et une valeur manquante pour la face 6. « La fréquence d'apparition du 6 est 0 ». La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1. Or $\frac{3}{15} + \frac{4}{15} + \frac{5}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$. Il ne reste donc plus rien pour la face 6 : sa fréquence est $\frac{0}{15} = 0$. Conclusion : AFFIRMATION VRAIE.

Affirmation n°5

Triangle RAS rectangle en S, avec $AS = 80\,\text{cm}$ et angle $\widehat{ARS} = 26^{\circ}$. « [RS] mesure environ 164 cm ». Dans ce triangle rectangle en S, par rapport à l'angle en R : [AS] est le côté OPPOSÉ et [RS] le côté ADJACENT. On utilise donc la tangente : $\tan (\widehat{ARS}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AS}{RS}$, soit $\tan (26^{\circ}) = \frac{80}{RS}$. On isole RS : $RS = \frac{80}{\tan (26^{\circ})} \approx \frac{80}{0{,}4877} \approx 164\,\text{cm}$. Conclusion : AFFIRMATION VRAIE.

Affirmation n°6

Rectangle ABCD de longueur 160 cm et largeur 95 cm. « Les diagonales mesurent exactement 186 cm ». Dans un rectangle, les diagonales sont égales ; on calcule AC dans le triangle ABC rectangle en B. Théorème de Pythagore : $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 160^{2} + 95^{2} = 25600 + 9025 = 34625$, donc $AC = \sqrt{34625} \approx 186{,}08\,\text{cm}$. Vérifions si c'est exactement 186 : $186^{2} = 34596$, qui est différent de 34625. La diagonale n'est donc PAS exactement 186 cm (elle vaut $\approx 186{,}08\,\text{cm}$). Conclusion : AFFIRMATION FAUSSE.