Brevet de maths 2022 Métropole : sujet et corrigé

Sur le schéma, les points C, E, D sont alignés, de même que A, E, B.
Données : $AE = 20$ pas, $BE = 5$ pas, $BD = 1$ pas.
Les angles en A et en B sont droits (marqués sur la figure) : (AC) ⊥ (AB) et (BD) ⊥ (AB).

Sur le schéma, la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (AB) (angle droit en A) et la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AB) (angle droit en B).
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Les points A, E, B sont alignés, les points C, E, D sont alignés et les droites (AC) et (BD) sont parallèles : on peut appliquer le théorème de Thalès.
$\frac{EA}{EB} = \frac{EC}{ED} = \frac{AC}{BD}$
Avec $EA = 20$ pas, $EB = 5$ pas et $BD = 1$ pas :
$\frac{AC}{BD} = \frac{EA}{EB} = \frac{20}{5} = 4$
Donc $AC = 4 \times BD = 4 \times 1 = 4$.
La largeur AC de la rivière est de 4 pas.

Le triangle AEC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :
$CE^{2} = AE^{2} + AC^{2} = 20^{2} + 4^{2} = 400 + 16 = 416$
Donc $CE = \sqrt{416} \approx 20{,}4$ pas.
Comme un pas mesure $65\,\text{cm} = 0{,}65\,\text{m}$ :
$CE \approx 20{,}396 \times 0{,}65 \approx 13{,}257\,\text{m}$.
Arrondie au décimètre près, la longueur CE vaut bien 13,3 m.

La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée :
$v = \frac{13{,}3}{5} = 2{,}66\,\text{m}/s$.
Le bâton se déplace à la vitesse moyenne de 2,66 m/s.

On convertit cette vitesse en km/h en multipliant par 3,6 :
$2{,}66 \times 3{,}6 = 9{,}576\,\text{km}/h$.
Comme $9{,}576\,\text{km}/h < 10\,\text{km}/h$, l'affirmation « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h » est vraie.