Brevet de maths 2022 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Données de la figure (non à l'échelle) :
- les points M, A et S sont alignés ;
- les points M, T et H sont alignés ;
- le triangle MHS est rectangle en H et le triangle MAT est rectangle en T ;
$\mathord{}- MH = 5\,\text{cm}$ ; $MS = 13\,\text{cm}$ ; $MT = 7\,\text{cm}$.
Sur la figure, M est le point de croisement : H et T sont de part et d'autre de M sur une même droite, de même que S et A.

Dans le triangle MHS rectangle en H, MS est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore :
$MS^{2} = MH^{2} + HS^{2}$
$13^{2} = 5^{2} + HS^{2}$
$169 = 25 + HS^{2}$
$HS^{2} = 169 - 25 = 144$
$HS = \sqrt{144} = 12$
Donc $HS = 12\,\text{cm}$.

Les droites (HS) et (AT) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (MH) (angle droit en H, angle droit en T) : elles sont donc parallèles.
Les points M, T, H sont alignés et les points M, A, S sont alignés. D'après le théorème de Thalès :
$\frac{MH}{MT} = \frac{MS}{MA} = \frac{HS}{AT}$
On utilise $\frac{MH}{MT} = \frac{HS}{AT}$, soit $\frac{5}{7} = \frac{12}{AT}$.
Donc $AT = (12 \times 7) \div 5 = 84 \div 5 = 16{,}8$.
La longueur AT est égale à 16,8 cm.

Dans le triangle MHS rectangle en H, l'angle HMS a pour côté adjacent [MH] et pour hypoténuse [MS] :
$\cos (\widehat{HMS}) = \text{côté adjacent} \div \text{hypoténuse} = \frac{MH}{MS} = \frac{5}{13}$
Donc $\widehat{HMS} = \arccos (\frac{5}{13}) \approx 67{,}4^{\circ}$.
Arrondi au degré près : l'angle HMS mesure environ $67^{\circ}$.

La transformation qui permet d'obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS est : une homothétie.
(Il s'agit d'une homothétie de centre M et de rapport $-1{,}4$ : les points images A et T sont de l'autre côté de M par rapport à S et H, et les longueurs sont multipliées par 1,4.)

L'affirmation est fausse.
Le triangle MAT est l'image du triangle MHS par une homothétie de rapport 1,4 (en valeur absolue). Or, dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k mais les aires sont multipliées par $k^{2}$.
Ici les aires sont donc multipliées par $1{,}4^{2} = 1{,}96$, et non par 1,4.
Vérification par le calcul :
$\mathord{}- \text{aire de MHS} = \frac{1}{2} \times MH \times HS = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\,\text{cm}^{2}$ ;
$\mathord{}- \text{aire de MAT} = \frac{1}{2} \times MT \times AT = \frac{1}{2} \times 7 \times 16{,}8 = 58{,}8\,\text{cm}^{2}$.
$58{,}8 \div 30 = 1{,}96$ (et non 1,4). L'affirmation est donc fausse.