Brevet de maths 2021 Polynésie : sujet et corrigé

1. Reconnaître les transformations (quad1, quad2, quad3)

On regarde comment chaque quadrilatère se déduit de TRAP.
• quad2 : on retrouve TRAP en le faisant simplement glisser, exactement selon le déplacement qui va du point D vers le point E. C'est une translation. → transformation numéro 1.
• quad3 : en faisant tourner TRAP d'un quart de tour $(90^{\circ})$ autour du point A, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on tombe pile dessus. C'est une rotation. → transformation numéro 2.
• quad1 : c'est l'image de TRAP « retournée comme dans un miroir » par rapport à la droite (DE) : TRAP et quad1 se correspondent de part et d'autre de cet axe. C'est une symétrie axiale (symétrie orthogonale) d'axe (DE). → transformation numéro 6.

Réponses :
a. Le quadrilatère quad1 est l'image de TRAP par la transformation numéro 6.
b. Le quadrilatère quad2 est l'image de TRAP par la transformation numéro 1.
c. Le quadrilatère quad3 est l'image de TRAP par la transformation numéro 2.

Kala t'explique :Demande-toi si la figure a « glissé » (translation), « tourné » (rotation) ou si elle est « retournée comme dans un miroir » (symétrie axiale). Une symétrie axiale inverse le sens de lecture de la figure, comme un reflet : c'est ce qui la distingue d'une rotation !

2. Développer et réduire $(2x-3)(-5+2x)-4+6x$

On développe d'abord le produit $(2x-3)(-5+2x)$ avec la double distributivité :
$(2x-3)(-5+2x) = 2x\times (-5) + 2x\times 2x + (-3)\times (-5) + (-3)\times 2x$
$= -10x + 4x^{2} + 15 - 6x$
$= 4x^{2} - 16x + 15$.

On ajoute ensuite $-4+6x$ :
$4x^{2} - 16x + 15 - 4 + 6x = 4x^{2} - 10x + 11$.

Résultat : $4x^{2} - 10x + 11$.

3. Résoudre $(x-6)(5x-2)=0$

C'est un produit de deux facteurs égal à 0. Or un produit est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul.
Donc : $x-6 = 0$ ou $5x-2 = 0$.
• $x-6 = 0$ donne $x = 6$.
• $5x-2 = 0$ donne $5x = 2$, soit $x = \frac{2}{5} = 0{,}4$.

L'équation a deux solutions : $x = 6$ et $x = \frac{2}{5}$.

4.a. Décomposer 1386 et 1716 en produit de facteurs premiers

$1386 = 2 \times 693 = 2 \times 3 \times 231 = 2 \times 3 \times 3 \times 77 = 2 \times 3^{2} \times 7 \times 11$.
Donc $1386 = 2 \times 3^{2} \times 7 \times 11$.

$1716 = 2 \times 858 = 2 \times 2 \times 429 = 2^{2} \times 3 \times 143 = 2^{2} \times 3 \times 11 \times 13$.
Donc $1716 = 2^{2} \times 3 \times 11 \times 13$.

4.b. En déduire la forme irréductible de 1386/1716

On repère les facteurs communs aux deux nombres : 2, 3 et 11, c'est-à-dire $2 \times 3 \times 11 = 66$.
$\frac{1386}{1716} = \frac{(2\times 3^{2}\times 7\times 11)}{(2^{2}\times 3\times 11\times 13)}$.
On simplifie par 2, par 3 et par 11. Il reste :
– au numérateur : $3 \times 7 = 21$ ;
– au dénominateur : $2 \times 13 = 26$.

Donc $\frac{1386}{1716} = \frac{21}{26}$.
Comme $21 = 3 \times 7$ et $26 = 2 \times 13$ n'ont plus aucun facteur commun, la fraction $\frac{21}{26}$ est bien irréductible.

Kala t'explique :Pour simplifier une fraction sans te tromper, décompose le haut et le bas en petits nombres premiers, puis barre les facteurs identiques deux par deux : c'est comme ranger des chaussettes par paires jusqu'à ce qu'il n'en reste plus de pareilles !

5. Placer Jokkmokk (67° Nord, $19^{\circ}$ Est) sur le planisphère

La latitude $67^{\circ}$ Nord est une ligne horizontale (parallèle) située très haut vers le Nord, entre les parallèles $60^{\circ}$ et $70^{\circ}$, bien au-dessus de l'équateur.
La longitude $19^{\circ}$ Est est une ligne verticale (méridien) située un peu à droite du méridien $0^{\circ}$ (Greenwich).
On place Jokkmokk au croisement de ces deux lignes : dans le nord de la Scandinavie (nord de la Suède, en Laponie).
Sur le planisphère de l'annexe, on marque donc un point là où le parallèle $67^{\circ}$ Nord coupe le méridien $19^{\circ}$ Est.