Brevet de maths 2023 Asie : sujet et corrigé

Énoncé

L'espace extérieur est le triangle CDG. Les points C, E, D sont alignés et les points C, F, G sont alignés. Les droites (EF) et (DG) sont parallèles, et (DG) est perpendiculaire à (CD). Données : $CE = 30\,\text{m}$, $ED = 10\,\text{m}$, $DG = 24\,\text{m}$. Le triangle CEF est la zone de jeux ; le quadrilatère DEFG est le potager.

1) Déterminer la longueur CD.

Le point E appartient au segment [CD] (C, E, D alignés dans cet ordre). La longueur CD est donc la somme des deux morceaux : $CD = CE + ED = 30 + 10 = 40$. Conclusion : $CD = 40\,\text{m}$.

2) Calculer la longueur CG, arrondie au dixième de mètre.

Les droites (DG) et (CD) sont perpendiculaires, donc le triangle CDG est rectangle en D. L'hypoténuse est [CG] (le côté opposé à l'angle droit). D'après le théorème de Pythagore : $CG^{2} = CD^{2} + DG^{2}$. On remplace : $CG^{2} = 40^{2} + 24^{2} = 1600 + 576 = 2176$. Donc $CG = \sqrt{2176} \approx 46{,}6$. Conclusion : $CG \approx 46{,}6\,\text{m}$ au dixième de mètre près.

Kala t'explique :Astuce : dans un triangle rectangle, le plus grand côté (l'hypoténuse) est toujours en face de l'angle droit, ici c'est [CG]. Pythagore, c'est le réflexe : les deux petits côtés au carré, on additionne, et hop, on prend la racine carrée ! Et attention, on utilise bien $CD = 40$ (pas 30) : c'est le côté entier, trouvé à la question 1.

3) Montrer que la clôture [EF] doit mesurer 18 m.

Les droites (CD) et (CG) sont sécantes en C. Les points C, E, D sont alignés et C, F, G sont alignés. Comme les droites (EF) et (DG) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès : $\frac{CE}{CD} = \frac{CF}{CG} = \frac{EF}{DG}$. On garde les rapports utiles : $\frac{30}{40} = \frac{EF}{24}$. Par produit en croix : $EF = \frac{30\times 24}{40} = \frac{720}{40} = 18$. Conclusion : la clôture [EF] mesure bien 18 m.

4) Quel budget prévoir pour semer du gazon sur toute la zone de jeux ?

La zone de jeux est le triangle CEF. Comme (EF) est parallèle à (DG) et que (DG) ⊥ (CD), la droite (EF) est aussi perpendiculaire à (CD) : le triangle CEF est rectangle en E. Son aire vaut : Aire(CEF) $= \frac{CE\times EF}{2} = \frac{30\times 18}{2} = \frac{540}{2} = 270$, soit $270\,\text{m}^{2}$. Chaque sac couvre $140\,\text{m}^{2}$. Or $\frac{270}{140} \approx 1{,}93$ : un seul sac ne suffit pas, il faut donc 2 sacs. Budget $= 2 \times 22{,}90 = 45{,}80$. Conclusion : il faut prévoir 45,80 €.

5) La directrice affirme que le potager est plus grand que la zone de jeux. A-t-elle raison ?

L'aire de la zone de jeux (triangle CEF) est $270\,\text{m}^{2}$ (question 4). Le potager DEFG est ce qui reste du grand triangle CDG une fois la zone de jeux retirée. Le triangle CDG est rectangle en D : Aire(CDG) $= \frac{CD\times DG}{2} = \frac{40\times 24}{2} = \frac{960}{2} = 480$, soit $480\,\text{m}^{2}$. Donc Aire(DEFG) $= \text{Aire}(\text{CDG}) - \text{Aire}(\text{CEF}) = 480 - 270 = 210$, soit $210\,\text{m}^{2}$. Comme $210 < 270$, le potager $(210\,\text{m}^{2})$ est plus petit que la zone de jeux $(270\,\text{m}^{2})$. Conclusion : la directrice a tort.

Kala t'explique :Au lieu de mesurer directement le potager (qui a une forme compliquée), calcule l'aire du grand triangle CDG en entier, puis enlève la pointe des jeux. Ce qui reste, c'est le potager. $480 - 270 = 210$ : le potager est le plus petit !